Étape 1
Démonstration de la forme factorisée de la dérivée : La fonction $f$ est dérivable sur $\left[0\,; \frac{\pi}{2}\right]$ comme somme de fonctions dérivables. En utilisant la formule de dérivation d'une fonction composée $(v(ax+b))' = a v'(ax+b)$, on a $$\left(\cos(2x)\right)' = -2\sin(2x)$$ D'où : $$f'(x) = \cos(x) + \frac{1}{2}\left(-2\sin(2x)\right) = \cos(x) - \sin(2x)$$ En rappelant la formule trigonométrique $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$, on obtient : $$f'(x) = \cos(x) - 2\sin(x)\cos(x) = \cos(x)(1 - 2\sin(x))$$
Étape 2
Étude du signe de la dérivée : Sur l'intervalle $\left[0\,; \frac{\pi}{2}\right]$, on sait que $\cos(x) \ge 0$ (s'annulant uniquement en $x = \frac{\pi}{2}$). Le signe de $f'(x)$ sur $\left[0\,; \frac{\pi}{2}\right[$ dépend donc exclusivement du facteur $1 - 2\sin(x)$. Résolvons l'inéquation : $$1 - 2\sin(x) \ge 0 \iff \sin(x) \le \frac{1}{2}$$ Sur $\left[0\,; \frac{\pi}{2}\right]$, la fonction sinus est strictement croissante et $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$. Ainsi, $1 - 2\sin(x) \ge 0$ pour $x \in \left[0\,; \frac{\pi}{6}\right]$, et $1 - 2\sin(x) \le 0$ pour $x \in \left[\frac{\pi}{6}\,; \frac{\pi}{2}\right]$.
Étape 3
Tableau de variations et calcul du maximum : On en déduit le signe de $f'(x)$ et les variations de $f$ : $f'(x) > 0$ sur $\left[0\,; \frac{\pi}{6}\right[$, $f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = 0$, et $f'(x) < 0$ sur $\left]\frac{\pi}{6}\,; \frac{\pi}{2}\right[$. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\left[0\,; \frac{\pi}{6}\right]$ puis strictement décroissante sur $\left[\frac{\pi}{6}\,; \frac{\pi}{2}\right]$. La fonction $f$ admet par conséquent un maximum absolu en $x = \frac{\pi}{6}$.
Étape 4
Calcul de la valeur exacte du maximum : $$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{1}{2}\cos\left(2 \times \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$$ Or $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ et $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$. $$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0{,}75$$ La valeur maximale de $f$ sur cet intervalle est donc $0{,}75$.
Méthode clé
Pour étudier le signe d'une expression trigonométrique factorisée, on étudie le signe de chaque facteur sur l'intervalle donné en s'appuyant sur les variations des fonctions sinus et cosinus.
Piège à éviter
Oublier de multiplier par la dérivée de $2x$ lors de la dérivation de $\cos(2x)$, ce qui donnerait $-\sin(2x)$ au lieu de $-2\sin(2x)$.
