Exercice : Fonctions trigonométriques

Étape 1

Calculons la dérivée de la fonction $f$ définie sur $[0 ; \pi]$ par $f(x) = \cos(2x) - 2\cos(x)$.

Étape 2

En appliquant les règles de dérivation, la dérivée de $\cos(x)$ est $-\sin(x)$ et celle de $\cos(2x)$ est $-2\sin(2x)$. On obtient : $$f'(x) = -2\sin(2x) + 2\sin(x)$$ En utilisant l'identité $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$, on factorise : $$f'(x) = -4\sin(x)\cos(x) + 2\sin(x) = 2\sin(x)(1 - 2\cos(x))$$

Étape 3

Étudions le signe de $f'(x)$ sur $[0 ; \pi]$ :

Étape 4

Pour tout $x \in [0 ; \pi]$, le facteur $\sin(x)$ est positif ou nul, et s'annule uniquement en $x = 0$ et $x = \pi$.

Étape 5

Pour le facteur $1 - 2\cos(x)$, l'égalité $1 - 2\cos(x) = 0$ équivaut à $\cos(x) = \dfrac{1}{2}$, soit $x = \dfrac{\pi}{3}$ sur $[0 ; \pi]$.

Étape 6

La fonction cosinus étant strictement décroissante sur $[0 ; \pi]$, on en déduit : pour $x \in \left[0 ; \dfrac{\pi}{3}\right[$, $\cos(x) > \dfrac{1}{2}$ donc $1 - 2\cos(x) < 0$ ; et pour $x \in \left]\dfrac{\pi}{3} ; \pi\right]$, $\cos(x) < \dfrac{1}{2}$ donc $1 - 2\cos(x) > 0$.

Étape 7

Par produit, la dérivée $f'(x)$ est strictement négative sur $\left]0 ; \dfrac{\pi}{3}\right[$ et strictement positive sur $\left]\dfrac{\pi}{3} ; \pi\right[$.

Étape 8

La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $\left[0 ; \dfrac{\pi}{3}\right]$ et strictement croissante sur $\left[\dfrac{\pi}{3} ; \pi\right]$.

Étape 9

Par conséquent, $f$ atteint son minimum absolu sur $[0 ; \pi]$ au point d'abscisse $x_0 = \dfrac{\pi}{3}$.

Étape 10

L'abscisse s'écrit bien sous la forme $x_0 = \dfrac{\pi}{k}$ avec $k = 3$.