Étape 1
Pour tout réel $x$, on utilise la formule de duplication $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$. L'expression de $f_k(x)$ devient :
Étape 2
$$f_k(x) = 3(2\cos^2(x) - 1) - k\cos(x) = 6\cos^2(x) - k\cos(x) - 3$$
Étape 3
On pose le changement de variable $X = \cos(x)$. Comme $x \in \mathbb{R}$, la variable $X$ décrit exactement le segment $[-1 ; 1]$.
Étape 4
On étudie alors la fonction polynôme $P$ définie sur $[-1 ; 1]$ par :
Étape 5
$$P(X) = 6X^2 - kX - 3$$
Étape 6
Le coefficient dominant $6$ est strictement positif, la parabole représentant $P$ est donc tournée vers le haut. Son sommet a pour abscisse :
Étape 7
$$X_0 = -\dfrac{-k}{2 \times 6} = \dfrac{k}{12}$$
Étape 8
Comme $k > 0$, deux situations se présentent selon la position de $X_0$ par rapport à l'intervalle $[-1 ; 1]$ :
Étape 9
Si $k > 12$, alors $X_0 > 1$, la fonction $P$ est strictement décroissante sur $[-1 ; 1]$ et son minimum sur $[-1 ; 1]$ est atteint en $X = 1$ :
Étape 10
$$P(1) = 6(1)^2 - k(1) - 3 = 3 - k$$
Étape 11
L'équation $3 - k = -\dfrac{17}{3}$ donne $k = 3 + \dfrac{17}{3} = \dfrac{26}{3} \approx 8{,}67$, ce qui est contradictoire avec l'hypothèse $k > 12$.
Étape 12
Si $0 < k \le 12$, alors $X_0 = \dfrac{k}{12} \in ]0 ; 1]$. Le minimum de $P$ sur $[-1 ; 1]$ est atteint au sommet $X_0$ et vaut :
Étape 13
$$P\left(\dfrac{k}{12}\right) = 6\left(\dfrac{k}{12}\right)^2 - k\left(\dfrac{k}{12}\right) - 3 = \dfrac{6k^2}{144} - \dfrac{k^2}{12} - 3 = -\dfrac{k^2}{24} - 3$$
Étape 14
On résout l'égalité avec le minimum souhaité :
Étape 15
$$-\dfrac{k^2}{24} - 3 = -\dfrac{17}{3}$$
Étape 16
$$-\dfrac{k^2}{24} = -\dfrac{17}{3} + 3 = -\dfrac{8}{3}$$
Étape 17
$$\dfrac{k^2}{24} = \dfrac{8}{3} \text{ donc } k^2 = 24 \times \dfrac{8}{3} = 64$$
Étape 18
Comme $k > 0$, on obtient $k = 8$. Cette valeur vérifie bien la condition $0 < 8 \le 12$.
Méthode clé
Utiliser la formule de duplication $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$ pour transformer l'expression en un polynôme du second degré en $X = \cos(x)$ avec $X \in [-1 ; 1]$.
Piège à éviter
Oublier de vérifier que l'abscisse du sommet de la parabole $X_0 = \dfrac{k}{12}$ appartient bien à l'intervalle $[-1 ; 1]$ pour que le minimum soit effectivement atteint.
