Exercice : Fonctions trigonométriques

Étape 1

On cherche à résoudre dans $[-\pi, \pi]$ l'équation :$$\sin(x) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$

Étape 2

On sait que la valeur remarquable dans $[0, \dfrac{\pi}{2}]$ dont le sinus vaut $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ est $x = \dfrac{\pi}{4}$.

Étape 3

Sur l'intervalle $[-\pi, \pi]$, l'équation $\sin(x) = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ possède deux solutions distinctes obtenues par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées :$$x = \dfrac{\pi}{4} \quad \text{ou} \quad x = \pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}$$

Étape 4

Ces deux valeurs appartiennent bien à l'intervalle $[-\pi, \pi]$. La plus grande de ces deux solutions est :$$x = \dfrac{3\pi}{4}$$

Étape 5

La fraction irréductible $\dfrac{a}{b}$ associée à cette solution est donc $\dfrac{3}{4}$.