Étape 1
La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2}\right[$ comme somme et composées de fonctions dérivables.
Étape 2
Pour tout $x \in \left]-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2}\right[$, la dérivée de la fonction tangente est $(\tan(x))' = 1 + \tan^2(x)$. En appliquant la règle de dérivation des puissances, on obtient :$$f'(x) = 2 \tan(x)(1 + \tan^2(x)) - k(1 + \tan^2(x))$$
Étape 3
En factorisant par $(1 + \tan^2(x))$, il vient :$$f'(x) = (2 \tan(x) - k)(1 + \tan^2(x))$$
Étape 4
Pour tout $x \in \left]-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2}\right[$, on a $1 + \tan^2(x) > 0$. Par conséquent, le signe de $f'(x)$ est strictement identique à celui de $2\tan(x) - k$.
Étape 5
La dérivée $f'$ s'annule en un point $x_0$ si et seulement si :$$2\tan(x_0) - k = 0 \quad \text{soit} \quad \tan(x_0) = \dfrac{k}{2}$$Comme $k > 0$ et que la fonction tangente est strictement croissante sur $\left]-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2}\right[$, la fonction $f'$ passe du signe négatif au signe positif en $x_0$. La fonction $f$ admet donc un minimum absolu en $x_0$.
Étape 6
Exprimons la valeur de ce minimum en fonction de $k$ :$$f(x_0) = \tan^2(x_0) - k \tan(x_0) = \left(\dfrac{k}{2}\right)^2 - k \left(\dfrac{k}{2}\right) = \dfrac{k^2}{4} - \dfrac{k^2}{2} = -\dfrac{k^2}{4}$$
Étape 7
D'après les données de l'énoncé, ce minimum vaut $-4$. On en déduit l'équation :$$-\dfrac{k^2}{4} = -4 \quad \text{ce qui équivaut à} \quad k^2 = 16$$
Étape 8
Comme le paramètre $k$ est strictement positif par hypothèse, on conclut que $k = 4$.
Méthode clé
Pour déterminer l'extremum d'une fonction faisant intervenir $\tan(x)$, on calcule sa dérivée en exploitant la propriété $(\tan(x))' = 1 + \tan^2(x)$, puis on exprime la valeur de la fonction au point critique en fonction de la valeur prise par $\tan(x_0)$.
Piège à éviter
Ne pas chercher à calculer la valeur explicite de $x_0$ avec des fonctions réciproques (qui sont hors-programme) : travailler directement avec la quantité $\tan(x_0)$.
