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3 ex.

Difficulté :
L'essentiel du cours (2 notions)

Enroulement sur le cercle trigonométrique

Définition : Le cercle trigonométrique a pour centre l'origine $O$, pour rayon $1$ et est orienté dans le sens direct (anti-horaire).

Méthode : Pour placer $M(x)$, parcourir la longueur $|x|$ depuis $I(1;0)$ dans le sens direct ($x \ge 0$) ou indirect ($x < 0$).

Exemple : Pour $x = \frac{\pi}{2}$, on parcourt un quart de cercle dans le sens direct à partir de $I(1;0)$.

Cosinus et sinus d'angles associés

Définition : Le point $M(x)$ du cercle trigonométrique a pour coordonnées $(\cos(x) ; \sin(x))$.

Propriété : Par symétrie, $\cos(\pi - x) = -\cos(x)$ et $\sin(\pi - x) = \sin(x)$.

Méthode : Déterminer la valeur dans le premier quadrant, puis utiliser les symétries du cercle pour ajuster le signe.

★ Standard

On considère le réel $x = \dfrac{\pi}{3}$.

On définit la somme $S$ par :

$$S = \cos(\pi - x) + \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) + k \cdot \cos(-x)$$

où $k$ est un nombre entier relatif.

Afin de déterminer la valeur de $k$ telle que $S = 4$, suivre la démarche ci-dessous :

  1. Rappeler la valeur remarquable de $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$.
  2. En utilisant les propriétés des angles associés lues sur le cercle trigonométrique, exprimer $\cos(\pi - x)$, $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$ et $\cos(-x)$ en fonction de $\cos(x)$.
  3. En déduire la valeur de l'entier $k$.

Saisir la valeur de l'entier $k$.
★ Standard

On considère le cercle trigonométrique représenté ci-dessous, muni des points $A_0, A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7$ régulièrement espacés de $\dfrac{\pi}{4}$ radian, le point $A_0$ étant placé au point de coordonnées $(1\,;\,0)$.

En décomposant le réel $x = \dfrac{19\pi}{4}$ sous la forme $x = 2k\pi + r$ avec $k \in \mathbb{Z}$ et $0 \le r < 2\pi$, déterminer le numéro $n$ du point $A_n$ associé à ce réel $x$.

Saisir uniquement le numéro $n$ du point $A_n$ correspondant.
★★ Avancé

Sur le cercle trigonométrique muni d'un repère orthonormal $(O; I, J)$, on note $M$ le point associé au nombre réel $t = -\dfrac{23\pi}{6}$.

L'abscisse du point $M$ s'écrit sous la forme $\dfrac{\sqrt{k}}{2}$, où $k$ est un nombre entier naturel.

Saisir la valeur de l'entier $k$.