Exercice : Cercle trigonométrique et valeurs remarquables

Étape 1

Pour déterminer le point associé au réel $x = \dfrac{19\pi}{4}$, on effectue l'enroulement de la droite numérique autour du cercle trigonométrique en séparant les tours complets.

Étape 2

Un tour complet correspond à un angle de $2\pi$ radians, soit $\dfrac{8\pi}{4}$ radians.

Étape 3

On décompose le fractionnement de $19$ par $4$ :

Étape 4

$$\dfrac{19\pi}{4} = \dfrac{16\pi + 3\pi}{4} = \dfrac{16\pi}{4} + \dfrac{3\pi}{4} = 4\pi + \dfrac{3\pi}{4}$$

Étape 5

Comme $4\pi = 2 \times 2\pi$, le terme $4 ull\pi$ représente exactement 2 tours complets sur le cercle trigonométrique dans le sens direct.

Étape 6

Le réel $\dfrac{19\pi}{4}$ est donc associé au même point du cercle trigonométrique que le réel $r = \dfrac{3\pi}{4}$.

Étape 7

Chaque point $A_k$ correspond à un angle de $k \times \dfrac{\pi}{4}$ radians pour $k$ allant de $0$ à $7$.

Étape 8

Pour l'angle $r = 3 \times \dfrac{\pi}{4}$, on effectue $3$ déplacements d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ dans le sens direct à partir de $A_0$, ce qui correspond au point $A_3$.