Exercice : Cercle trigonométrique et valeurs remarquables

Étape 1

1. Pour $x = \dfrac{\pi}{3}$, la valeur remarquable du cosinus est : $$\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$$

Étape 2

2. En utilisant les symétries du cercle trigonométrique, on exprime chaque terme en fonction de $\cos(x)$ : $$\cos(\pi - x) = -\cos(x) = -\dfrac{1}{2}$$ $$\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x) = \dfrac{1}{2}$$ $$\cos(-x) = \cos(x) = \dfrac{1}{2}$$

Étape 3

3. En substituant ces valeurs dans l'expression de $S$, on obtient : $$S = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + k \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{k}{2}$$

Étape 4

On cherche l'entier $k$ tel que $S = 4$, ce qui équivaut à : $$\dfrac{k}{2} = 4$$ D'où $k = 4 \times 2 = 8$.