Exercice : Cercle trigonométrique et valeurs remarquables

Étape 1

On cherche la position du point $M$ associé au réel $t = -\dfrac{23\pi}{6}$ sur le cercle trigonométrique.

Étape 2

On décompose le nombre réel $t$ en mettant en évidence un multiple de $2\pi$ :

Étape 3

$$t = -\dfrac{23\pi}{6} = -\dfrac{24\pi - \pi}{6} = -\dfrac{24\pi}{6} + \dfrac{\pi}{6} = -4\pi + \dfrac{\pi}{6}$$

Étape 4

Comme $-4\pi = -2 \times 2\pi$, faire un tour complet du cercle trigonométrique dans le sens horaire deux fois revient à revenir au même point.

Étape 5

Par conséquent, le point $M$ associé au réel $-\dfrac{23\pi}{6}$ est le même que le point associé au réel $\dfrac{\pi}{6}$.

Étape 6

L'abscisse du point $M$ sur le cercle trigonométrique est égale au cosinus du réel correspondant :

Étape 7

$$x_M = \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

Étape 8

Par identification avec la forme $\dfrac{\sqrt{k}}{2}$, on en déduit que $k = 3$.