Reconnaissance et procédures de résolution
L'essentiel du cours (5 notions)
Reconnaître la proportionnalité
Définition : Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on passe des valeurs de l'une aux valeurs de l'autre en multipliant toujours par un même nombre non nul.
Exemple : $1\text{ kg}$ de pommes coûte $2\text{ €}$ et $3\text{ kg}$ coûtent $6\text{ €}$ : le prix est proportionnel à la masse ($1 \times 2 = 2$ et $3 \times 2 = 6$).
Procédures de résolution simples
Méthode : • Linéarité additive : additionner les valeurs de deux situations. • Linéarité multiplicative : multiplier les valeurs par un nombre. • Retour à l'unité : calculer d'abord la valeur pour $1$ élément.
Exemple : Pour $4$ personnes : $200\text{ g}$. Pour $8$ personnes ($4 \times 2$) : $200 \times 2 = 400\text{ g}$.
Coefficient de proportionnalité avec unité
Définition : Nombre permettant de passer d'une grandeur à l'autre. Il porte souvent une unité composée (ex. : $\text{€/kg}$, $\text{km/h}$).
Méthode : 1. Calculer $\frac{\text{Valeur grandeur 2}}{\text{Valeur grandeur 1}}$. 2. Multiplier les valeurs de la grandeur 1 par ce coefficient pour obtenir la grandeur 2.
Exemple : $15\text{ €}$ pour $3\text{ kg} \rightarrow 15 \div 3 = 5\text{ €/kg}$. Prix pour $7\text{ kg}$ : $7 \times 5 = 35\text{ €}$.
Représentation par un tableau
Propriété : Un tableau traduit la proportionnalité si on passe d'une ligne (ou colonne) à l'autre en multipliant toujours par un même coefficient.
Exemple : Masse ($2\text{ kg}$) $\rightarrow$ Prix ($5\text{ €}$). Pour $6\text{ kg}$ ($2 \times 3$), le prix est $5 \times 3 = 15\text{ €}$.
Lire un tableau ou un nuage de points
Méthode : • Sur un tableau : vérifier l'égalité des quotients ou compléter la valeur manquante. • Sur un graphique : lire la valeur manquante sur l'axe associé au point aligné.
Exemple : Dans un tableau, si $6 \div 2 = 3$ et $12 \div 4 = 3$, la situation est proportionnelle.
Pour préparer un gâteau pour 4 personnes, il faut $180\text{ g}$ de chocolat.
Déterminer la quantité de chocolat nécessaire pour 12 personnes.
Saisir la masse de chocolat nécessaire (en g).
On considère les quatre situations suivantes de la vie courante :
- 1. La taille d'une personne en fonction de son âge.
- 2. Le tarif mensuel d'un forfait internet illimité en fonction du nombre d'heures de connexion.
- 3. La distance parcourue par un cycliste roulant à vitesse constante en fonction de la durée du trajet.
- 4. L'aire d'un carré en fonction de la longueur de son côté.
Saisir le numéro de la situation qui relève de la proportionnalité.
La consommation de carburant d'une voiture est proportionnelle à la distance parcourue.
Pour parcourir une distance de $150\text{ km}$, le véhicule consomme $9\text{ L}$ de carburant.
Lors d'un trajet, le véhicule a consommé $21\text{ L}$ de carburant.
Saisir la distance parcourue (en km) lors de ce trajet.
On considère les quatre situations suivantes :
- Situation 1 : Un coureur parcourt 800 m en 2 tours de piste, 2 000 m en 5 tours et 3 500 m en 9 tours.
- Situation 2 : Un rouleau de tissu coûte 24 € pour 3 m, 56 € pour 7 m et 88 € pour 11 m.
- Situation 3 : Un arbuste mesure 60 cm à 2 ans, 120 cm à 4 ans et 150 cm à 6 ans.
- Situation 4 : Un abonnement coûte 12 € pour 1 mois, 36 € pour 3 mois et 65 € pour 6 mois.
Une seule de ces situations traduit une relation de proportionnalité entre les deux grandeurs.
Indiquer le numéro de la situation qui relève de la proportionnalité.
Pour préparer un dessert pour 4 personnes, une recette indique qu'il faut 350 g de fraises.
En conservant les mêmes proportions, quelle masse de fraises faut-il pour 6 personnes ?
Saisir la masse de fraises en grammes.
Le graphique ci-dessous représente le prix de pommes (en euros) en fonction de la masse achetée (en kilogrammes). Les points sont alignés avec l'origine du repère, ce qui traduit une situation de proportionnalité.
En vous appuyant sur le graphique, déterminer le prix correspondant à un achat de 7 kg de pommes.
Saisir le prix en euros de 7 kg de pommes.
Un peintre utilise $4\text{ L}$ de peinture pour recouvrir une surface de $32\text{ m}^2$. La surface recouverte est proportionnelle à la quantité de peinture utilisée.
On représente cette situation par le tableau de proportionnalité suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{Quantité de peinture (en L)} & 4 & 9 \\ \hline \text{Surface recouverte (en m}^2\text{)} & 32 & ? \\ \hline \end{array}$$Saisir la surface recouverte (en m²) pour 9 L de peinture :
Au marché, le prix des cerises est proportionnel à la masse achetée.
Une cliente a payé 18 € pour $4\text{ kg}$ de cerises.
Saisir le prix payé pour $7\text{ kg}$ de ces mêmes cerises (en euros).
Un automobiliste effectue un trajet. La quantité de carburant consommée par sa voiture est proportionnelle à la distance parcourue. Pour parcourir $150\text{ km}$, le véhicule consomme $9\text{ L}$ d'essence.
Au départ du trajet, le réservoir contenait $48\text{ L}$ d'essence. À l'arrivée, il reste $12\text{ L}$ d'essence dans le réservoir.
Quelle distance totale, en kilomètres, cet automobiliste a-t-il parcourue ?
Dans un commerce, $3{,}5\text{ kg}$ de pommes coûtent $8{,}40\text{ €}$. Le prix payé est proportionnel à la masse de pommes achetée.
Un client souhaite acheter $6{,}5\text{ kg}$ de ces mêmes pommes et veut vérifier si un budget de $15\text{ €}$ sera suffisant.
Saisir le prix exact (en euros) de $6{,}5\text{ kg}$ de pommes :
Un train roule à vitesse constante. En $40\text{ min}$, il parcourt une distance de $72\text{ km}$.
Quelle distance parcourt ce train en $1\text{ h } 30\text{ min}$ ?
Saisir la distance parcourue en km.
Le tableau ci-dessous indique le prix payé en euros selon la masse de fruits achetée dans une épicerie, dans une situation de proportionnalité.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \text{Masse (en kg)} & 4 & 6 & 15 \\ \hline \text{Prix (en €)} & 14 & 21 & \text{?} \\ \hline \end{array}$$Calculer le prix correspondant à une masse de $15\text{ kg}$.
Saisir la valeur du prix payé (en euros).