Produit scalaire et orthogonalité
L'essentiel du cours (2 notions)
Produit scalaire dans l'espace
Propriété : En repère orthonormé, pour $\vec{u}(x;y;z)$ et $\vec{v}(x';y';z')$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz' = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})$.
Méthode : • Orthogonalité : $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. • Norme : $\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}} = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$. • Angle : $\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|}$.
Orthogonalité et plan normal
Propriété : Un plan $\mathcal{P}$ passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$ a pour équation cartésienne $a(x-x_A) + b(y-y_A) + c(z-z_A) = 0$.
Méthode : • Droite $\perp$ Plan : vecteur directeur de la droite colinéaire au vecteur normal du plan. • Plan médiateur de $[AB]$ : plan passant par le milieu $I$ de $[AB]$ et de vecteur normal $\vec{AB}$.
Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ de l'espace, on considère les points $A(2, -1, 3)$ et $B(6, 3, 1)$.
On note $\mathcal{P}$ le plan médiateur du segment $[AB]$, c'est-à-dire l'ensemble des points $M$ de l'espace vérifiant $\vec{AB} \cdot \vec{IM} = 0$, où $I$ est le milieu du segment $[AB]$.
Soit $P_k(k, 1, 0)$ un point de l'espace, où $k$ désigne un nombre réel.
- Déterminer les coordonnées du point $I$, milieu du segment $[AB]$.
- Exprimer le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{IP_k}$ en fonction du réel $k$.
- Justifier l'appartenance du point $P_k$ au plan $\mathcal{P}$ en déterminant la valeur exacte de $k$.
Saisir la valeur de $k$.
Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ de l'espace, on considère les points $A(1\,; 2\,; -1)$, $B(3\,; 0\,; 2)$ et $C(5\,; 1\,; 4)$.
En déterminant d'abord les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$, calculer la valeur du produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
Saisir la valeur du produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(2\,; 1\,; 0)$, $B(4\,; 3\,; 2)$, $D(2\,; 3\,; -2)$ et $C(1\,; k\,; 3)$, où $k$ est un nombre réel.
Le plan $\mathcal{P}$ passe par le point $A$ et est orthogonal à la droite $(BC)$. On sait que le point $D$ appartient au plan $\mathcal{P}$.
Saisir la valeur du réel $k$.
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(2, 1, 0)$, $B(0, 3, 1)$ et $C(3, 0, 4)$.
Pour tout nombre réel $k$, on définit le vecteur $\vec{u_k} = \vec{AB} + k \vec{AC}$.
Déterminer la valeur du réel $k$ pour laquelle le vecteur $\vec{u_k}$ est orthogonal au vecteur $\vec{BC}$.
Saisir la valeur de $k$ sous forme décimale.
Muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(1, 2, 3)$, $B(3, 0, 1)$ et $D(2, 4, -1)$.
Pour tout réel $k$, on note $C_k$ le point de coordonnées $(k, k-1, 1-k)$ et $\mathcal{P}$ le plan médiateur du segment $[AB]$.
Déterminer la valeur du réel $k$ pour laquelle la droite $(C_k D)$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$.
Saisir la valeur du réel $k$.