Étape 1
Déterminons les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ et $\vec{BC}$ dans le repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ :
Étape 2
$$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 0 - 2 \\ 3 - 1 \\ 1 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \vec{AC} = \begin{pmatrix} 3 - 2 \\ 0 - 1 \\ 4 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}, \quad \vec{BC} = \begin{pmatrix} 3 - 0 \\ 0 - 3 \\ 4 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}$$
Étape 3
Déduisons-en les coordonnées du vecteur $\vec{u_k} = \vec{AB} + k \vec{AC}$ en fonction de $k$ :
Étape 4
$$\vec{u_k} = \begin{pmatrix} -2 + 1k \\ 2 + (-1)k \\ 1 + 4k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 + k \\ 2 - k \\ 1 + 4k \end{pmatrix}$$
Étape 5
Calculons l'expression du produit scalaire $\vec{u_k} \cdot \vec{BC}$ :
Étape 6
$$\vec{u_k} \cdot \vec{BC} = (-2 + k) \times 3 + (2 - k) \times (-3) + (1 + 4k) \times 3$$
Étape 7
$$\vec{u_k} \cdot \vec{BC} = -6 + 3k - 6 + 3k + 3 + 12k = 18k - 9$$
Étape 8
Les vecteurs $\vec{u_k}$ et $\vec{BC}$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul, ce qui équivaut à :
Étape 9
$$18k - 9 = 0 \iff 18k = 9 \iff k = \frac{9}{18} = 0{,}5$$
Étape 10
La valeur du réel $k$ pour laquelle le vecteur $\vec{u_k}$ est orthogonal au vecteur $\vec{BC}$ est $0{,}5$.
Méthode clé
Dans un repère orthonormé de l'espace, le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}(x,y,z)$ et $\vec{v}(x',y',z')$ vaut $xx' + yy' + zz'$. L'orthogonalité équivaut à la nullité de ce produit scalaire.
Piège à éviter
Attention à bien distribuer le facteur $k$ sur l'ensemble des composantes du vecteur $\vec{AC}$ lors du calcul de $\vec{u_k}$.
