Étape 1
La droite $(BC)$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$. Par définition, le vecteur directeur $\vec{BC}$ est donc un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
Étape 2
Le plan $\mathcal{P}$ passant par le point $A$, un point $D$ appartient au plan $\mathcal{P}$ si et seulement si le vecteur $\vec{AD}$ est orthogonal au vecteur $\vec{BC}$. Cela traduit l'égalité : $$\vec{AD} \cdot \vec{BC} = 0$$
Étape 3
Déterminons les coordonnées des vecteurs $\vec{AD}$ et $\vec{BC}$ dans le repère orthonormé : $$\vec{AD} = \begin{pmatrix} 2 - 2 \\ 3 - 1 \\ -2 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$$ $$\vec{BC} = \begin{pmatrix} 1 - 4 \\ k - 3 \\ 3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ k - 3 \\ 1 \end{pmatrix}$$
Étape 4
Exprimons le produit scalaire $\vec{AD} \cdot \vec{BC}$ en fonction de $k$ : $$\vec{AD} \cdot \vec{BC} = 0 \times (-3) + 2 \times (k - 3) + (-2) \times 1$$ $$\vec{AD} \cdot \vec{BC} = 2(k - 3) - 2$$
Étape 5
L'équation $\vec{AD} \cdot \vec{BC} = 0$ devient alors : $$2(k - 3) - 2 = 0$$ $$2k - 6 - 2 = 0$$ $$2k - 8 = 0$$ $$2k = 8$$ $$k = 4$$
Étape 6
La valeur du réel $k$ recherchée est donc $4$.
Méthode clé
Un point $M$ appartient au plan passant par $A$ et orthogonal à une droite $(BC)$ si et seulement si les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{BC}$ sont orthogonaux, c'est-à-dire $\vec{AM} \cdot \vec{BC} = 0$.
Piège à éviter
Chercher à déterminer une équation cartésienne complète du plan avant de tester le point $D$, alors que poser directement $\vec{AD} \cdot \vec{BC} = 0$ simplifie grandement les calculs.
