Étape 1
Le plan médiateur $\mathcal{P}$ du segment $[AB]$ est l'ensemble des points de l'espace équidistants de $A$ et $B$. Il est orthogonal à la droite $(AB)$. Un vecteur normal à ce plan est donc le vecteur $\vec{AB}$.
Étape 2
Calculons les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ :
$$\vec{AB} = (3 - 1, 0 - 2, 1 - 3) = (2, -2, -2)$$
Étape 3
Pour simplifier les calculs, on peut choisir comme vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ le vecteur $\vec{n} = \frac{1}{2}\vec{AB} = (1, -1, -1)$.
Étape 4
La droite $(C_k D)$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$ si et seulement si son vecteur directeur $\vec{C_k D}$ est colinéaire au vecteur normal $\vec{n}$.
Étape 5
Calculons les coordonnées du vecteur $\vec{C_k D}$ en fonction de $k$ :
$$\vec{C_k D} = (2 - k, 4 - (k - 1), -1 - (1 - k)) = (2 - k, 5 - k, k - 2)$$
Étape 6
Les vecteurs $\vec{C_k D}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires si et seulement s'il existe un nombre réel $\lambda$ tel que $\vec{C_k D} = \lambda \vec{n}$, ce qui se traduit par le système suivant :
$$\begin{cases} 2 - k = \lambda \times 1 \\ 5 - k = \lambda \times (-1) \\ k - 2 = \lambda \times (-1) \end{cases} \iff \begin{cases} 2 - k = \lambda \\ 5 - k = -\lambda \\ k - 2 = -\lambda \end{cases}$$
Étape 7
De la première équation, on extrait $\lambda = 2 - k$. On retranscrit cette expression dans la deuxième équation :
$$5 - k = -(2 - k) \iff 5 - k = -2 + k \iff 2k = 7 \iff k = 3{,}5$$
Étape 8
Vérifions si cette valeur de $k$ satisfait également la troisième équation :
Pour $k = 3{,}5$, on a $k - 2 = 3{,}5 - 2 = 1{,}5$.
D'autre part, $-\lambda = -(2 - 3{,}5) = -(-1{,}5) = 1{,}5$.
La troisième équation est bien vérifiée.
Étape 9
La valeur unique du réel $k$ pour laquelle la droite $(C_k D)$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$ est donc $3{,}5$.
Méthode clé
Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si un vecteur directeur de cette droite est colinéaire à un vecteur normal du plan.
Piège à éviter
Confondre la condition d'orthogonalité droite/plan (colinéarité des vecteurs directeur et normal) avec l'orthogonalité de deux droites (produit scalaire nul).
