Exercice : Produit scalaire et orthogonalité

Étape 1

On commence par déterminer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ dans le repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

Étape 2

Pour le vecteur $\vec{AB}$ : $$\vec{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 1 \\ 0 - 2 \\ 2 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$$

Étape 3

Pour le vecteur $\vec{AC}$ : $$\vec{AC}\begin{pmatrix} x_C - x_A \\ y_C - y_A \\ z_C - z_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 - 1 \\ 1 - 2 \\ 4 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}$$

Étape 4

Dans un repère orthonormé, l'expression analytique du produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}(x; y; z)$ et $\vec{v}(x'; y'; z')$ est donnée par la formule : $$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$$

Étape 5

On applique cette formule aux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ : $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2 \times 4 + (-2) \times (-1) + 3 \times 5 = 8 + 2 + 15 = 25$$