Exercice : Produit scalaire et orthogonalité
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Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ de l'espace, on considère les points $A(2, -1, 3)$ et $B(6, 3, 1)$.
On note $\mathcal{P}$ le plan médiateur du segment $[AB]$, c'est-à-dire l'ensemble des points $M$ de l'espace vérifiant $\vec{AB} \cdot \vec{IM} = 0$, où $I$ est le milieu du segment $[AB]$.
Soit $P_k(k, 1, 0)$ un point de l'espace, où $k$ désigne un nombre réel.
- Déterminer les coordonnées du point $I$, milieu du segment $[AB]$.
- Exprimer le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{IP_k}$ en fonction du réel $k$.
- Justifier l'appartenance du point $P_k$ au plan $\mathcal{P}$ en déterminant la valeur exacte de $k$.
Saisir la valeur de $k$.
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