Équations de droites et de plans
L'essentiel du cours (2 notions)
Représentation paramétrique d'une droite
Définition : La droite passant par $A(x_0; y_0; z_0)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a; b; c)$ est l'ensemble des points $M(x; y; z)$ tels que $\vec{AM} = t\vec{u}$ ($t \in \mathbb{R}$).
Formule : $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$
Méthode : Pour vérifier si $M(x;y;z) \in d$, remplace ses coordonnées dans le système. S'il existe une unique valeur $t$ commune aux trois équations, alors $M \in d$.
Équation cartésienne d'un plan
Propriété : Un plan de vecteur normal $\vec{n}(a; b; c)$ non nul admet une équation cartésienne de la forme $ax + by + cz + d = 0$, avec $d \in \mathbb{R}$.
Méthode : 1. Remplace $a, b, c$ par les coordonnées de $\vec{n}$. 2. Injecte les coordonnées d'un point $A$ du plan dans l'équation pour calculer $d$.
Exemple : Avec $A(1;0;2)$ et $\vec{n}(2;-1;3)$ : $2(1) - 0 + 3(2) + d = 0 \implies d = -8$. D'où $2x - y + 3z - 8 = 0$.
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère la droite $d_1$ passant par les points $A(2 ; -3 ; 5)$ et $B(8 ; 1 ; -1)$.
La droite $d_2$ est définie par le système d'équations :
$$ \begin{cases} x = -4 + k t \\ y = 1 + 12 t \\ z = 7 - 18 t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) $$où $k$ est un nombre réel.
Sachant que les droites $d_1$ et $d_2$ sont parallèles, déterminer la valeur du réel $k$.
Déterminer la valeur numérique du réel $k$.
Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ de l'espace, on considère la droite $d$ admettant la représentation paramétrique suivante :
$$\begin{cases} x = k + 2t \\ y = 2 + kt \\ z = -1 + 3t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$où $k$ est un nombre réel.
On sait que le point $B(11, 17, 8)$ appartient à la droite $d$.
Saisir la valeur du réel $k$.
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère le point $A(2; 1; -1)$ et le vecteur $\vec{n}(k; -3; 2)$, où $k$ est un nombre réel.
Le plan $\mathcal{P}$ passe par le point $A$ et admet le vecteur $\vec{n}$ comme vecteur normal.
Une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ s'écrit sous la forme $kx - 3y + 2z + d = 0$, où $d$ est un nombre réel.
Sachant que la constante $d$ vaut $-1$, déterminer la valeur du réel $k$.
Saisir la valeur du réel $k$.
Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ de l'espace, on considère le point $A(2, 1, -3)$ et, pour tout réel $k$, le plan $\mathcal{P}_k$ passant par le point $A$ et admettant le vecteur $\vec{n}(k; -2; 3)$ pour vecteur normal.
On considère également le plan $\mathcal{Q}_k$ d'équation cartésienne :$$2x + ky + (k-1)z + 10 = 0$$
On sait que les plans $\mathcal{P}_k$ et $\mathcal{Q}_k$ sont orthogonaux. Pour cette valeur particulière du réel $k$, l'équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_k$ s'écrit sous la forme $kx - 2y + 3z + d = 0$.
Saisir la valeur du réel $d$.
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère la droite $\mathcal{D}_k$ dont une représentation paramétrique est donnée par :
$$\begin{cases} x = 1 + k t \\ y = -3 + 5t \\ z = 2 + (k-1)t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$où $k$ est un nombre réel fixé.
On considère le point $M$ de coordonnées $(9 ; 7 ; 8)$. Déterminer la valeur du réel $k$ pour laquelle la droite $\mathcal{D}_k$ passe par le point $M$.
Saisir la valeur du réel $k$.