Exercice : Équations de droites et de plans

Étape 1

Un vecteur directeur de la droite $d_1$ passant par $A(2 ; -3 ; 5)$ et $B(8 ; 1 ; -1)$ est donné par le vecteur $\vec{AB}$ :

Étape 2

$$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 8 - 2 \\ 1 - (-3) \\ -1 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix}$$

Étape 3

D'après la représentation paramétrique de la droite $d_2$, un vecteur directeur de $d_2$ est :

Étape 4

$$\vec{u}_2 = \begin{pmatrix} k \\ 12 \\ -18 \end{pmatrix}$$

Étape 5

Les droites $d_1$ et $d_2$ sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs $\vec{AB}$ et $\vec{u}_2$ sont colinéaires, c'est-à-dire s'il existe un nombre réel $c$ tel que $\vec{u}_2 = c \vec{AB}$.

Étape 6

Cette égalité vectorielle se traduit par le système d'équations suivant :

Étape 7

$$\begin{cases} k = 6 c \\ 12 = 4 c \\ -18 = -6 c \end{cases}$$

Étape 8

De la deuxième équation, on tire $c = \dfrac{12}{4} = 3$. On vérifie dans la troisième équation que $-6 \times 3 = -18$, ce qui est bien cohérent.

Étape 9

On en déduit la valeur de $k$ à l'aide de la première équation : $k = 6 \times 3 = 18$.