Exercice : Équations de droites et de plans

Étape 1

Un plan défini par une équation cartésienne de la forme $ax + by + cz + d = 0$ admet pour vecteur normal le vecteur de coordonnées $(a; b; c)$. Ainsi, un vecteur normal au plan $\mathcal{Q}_k$ est $\vec{n}_{\mathcal{Q}}(2; k; k-1)$.

Étape 2

Les plans $\mathcal{P}_k$ et $\mathcal{Q}_k$ sont orthogonaux si et seulement si leurs vecteurs normaux respectifs $\vec{n}$ et $\vec{n}_{\mathcal{Q}}$ sont orthogonaux, ce qui équivaut à : $$\vec{n} \cdot \vec{n}_{\mathcal{Q}} = 0$$

Étape 3

Dans le repère orthonormé, on exprime ce produit scalaire : $$\vec{n} \cdot \vec{n}_{\mathcal{Q}} = k \times 2 + (-2) \times k + 3 \times (k-1) = 2k - 2k + 3k - 3 = 3k - 3$$ L'égalité $3k - 3 = 0$ équivaut à $3k = 3$, soit $k = 1$.

Étape 4

Pour $k = 1$, le vecteur normal du plan $\mathcal{P}_1$ est $\vec{n}(1; -2; 3)$. L'équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_1$ s'écrit donc sous la forme $x - 2y + 3z + d = 0$. Le point $A(2, 1, -3)$ appartient au plan $\mathcal{P}_1$, ses coordonnées vérifient donc son équation : $$1 \times 2 - 2 \times 1 + 3 \times (-3) + d = 0$$ Ce qui équivaut à $2 - 2 - 9 + d = 0$, soit $-9 + d = 0$, d'où $d = 9$.