Exercice : Équations de droites et de plans

Étape 1

Le point $M(9 ; 7 ; 8)$ appartient à la droite $\mathcal{D}_k$ si et seulement s'il existe un réel $t$ vérifiant le système d'équations suivant :

Étape 2

$$\begin{cases} 9 = 1 + k t \quad (1) \\ 7 = -3 + 5t \quad (2) \\ 8 = 2 + (k-1)t \quad (3) \end{cases}$$

Étape 3

On détermine d'abord la valeur du paramètre $t$ à l'aide de l'équation $(2)$ :

Étape 4

$$7 = -3 + 5t$$ ce qui équivaut à $$5t = 10$$ soit $$t = 2$$

Étape 5

On substitue désormais $t = 2$ dans l'équation $(1)$ :

Étape 6

$$9 = 1 + k \times 2$$ ce qui équivaut à $$2k = 8$$ soit $$k = 4$$

Étape 7

On vérifie la cohérence de cette valeur avec l'équation $(3)$ pour $t = 2$ et $k = 4$ :

Étape 8

$$2 + (4 - 1) \times 2 = 2 + 3 \times 2 = 8$$

Étape 9

L'équation $(3)$ est bien vérifiée. La valeur du réel $k$ recherchée est donc $4$.