Exercice : Équations de droites et de plans

Étape 1

Le point $B(11, 17, 8)$ appartient à la droite $d$ si et seulement s'il existe un réel $t$ vérifiant le système suivant :

Étape 2

$$\begin{cases} 11 = k + 2t \\ 17 = 2 + kt \\ 8 = -1 + 3t \end{cases}$$

Étape 3

La troisième équation permet d'isoler le paramètre $t$ :

Étape 4

$$8 = -1 + 3t$$ ce qui équivaut à $3t = 9$, d'où $t = 3$.

Étape 5

En substituant $t = 3$ dans la première équation, on obtient :

Étape 6

$$11 = k + 2 \times 3$$ ce qui donne $11 = k + 6$, d'où $k = 5$.

Étape 7

Vérifions enfin la deuxième équation avec $k = 5$ et $t = 3$ :

Étape 8

$$2 + 5 \times 3 = 2 + 15 = 17$$

Étape 9

L'égalité est bien vérifiée. Ainsi, la valeur du réel $k$ est $5$.