Prolongements théoriques sur l'indépendance
L'essentiel du cours (2 notions)
Succession d'épreuves indépendantes identiques
Propriété : Lorsque $n$ épreuves ($n \le 4$) sont identiques et indépendantes, la probabilité d'un chemin sur l'arbre est le produit des probabilités portées par ses branches.
Méthode : 1. Construire l'arbre à $n$ niveaux. 2. Multiplier les probabilités le long des branches du chemin recherché. 3. Additionner les probabilités des chemins réalisant l'événement.
Exemple : Pour 3 tirages indépendants avec $P(A)=0,6$, la probabilité d'obtenir 3 succès est $P(AAA) = 0,6^3 = 0,216$.
Marche aléatoire à $n \le 4$ étapes
Définition : Déplacement d'un point sur une droite graduée à chaque étape vers la droite ($+1$) ou la gauche ($-1$) selon des probabilités fixées.
Méthode : 1. Représenter les déplacements par un arbre à $n$ niveaux ($n \le 4$). 2. Calculer la probabilité de chaque trajectoire. 3. Regrouper les branches menant à une même position finale.
Exemple : Partant de $0$ avec $p=0,5$, après 2 étapes, la probabilité d'être en $0$ vaut $2 \times 0,5^2 = 0,5$.
Un pion se déplace sur une droite graduée selon une marche aléatoire à $3$ étapes.
Initialement situé à l'origine d'abscisse $0$, le pion effectue $3$ déplacements successifs et indépendants :
- Vers la droite (gain de $+1$) avec une probabilité $p$ (où $p \in ]0 ; 1[$) ;
- Vers la gauche (perte de $-1$) avec la probabilité $1-p$.
On note $X$ la position finale du pion à l'issue des $3$ déplacements.
Sachant que le pion a atteint une position strictement positive à la fin des $3$ étapes, la probabilité qu'il se trouve précisément à la position $3$ est égale à $\frac{4}{7}$.
Déterminer la valeur exacte de la probabilité $p$ sous la forme d'une fraction irréductible.
Un jeu consiste à réaliser des tirages successifs et indépendants dans une urne. À chaque tirage, on peut obtenir l'événement $S$ (succès) avec une probabilité inconnue $p$, ou l'événement $\bar{S}$ (échec).
Lorsqu'on réalise $3$ tirages successifs et indépendants, la probabilité d'obtenir au moins un succès est égale à $\dfrac{19}{27}$.
On réalise désormais $4$ tirages successifs et indépendants dans les mêmes conditions.
Déterminer la probabilité d'obtenir exactement $3$ succès au cours de ces $4$ tirages.
Saisir la probabilité sous la forme d'une fraction irréductible a/b.