Exercice : Prolongements théoriques sur l'indépendance

Étape 1

À chaque étape, le pion monte de $+1$ avec la probabilité $p$ ou descend de $-1$ avec la probabilité $1-p$.

Étape 2

Après $3$ étapes, les positions possibles $X$ et leurs probabilités associées sont déterminées par le nombre de déplacements vers la droite :

Étape 3

Pour atteindre la position $+3$, le pion doit effectuer $3$ déplacements vers la droite. Il existe un seul chemin $(+1, +1, +1)$ : $$P(X = 3) = p^3$$

Étape 4

Pour atteindre la position $+1$, le pion doit effectuer $2$ déplacements vers la droite et $1$ vers la gauche. Il existe $3$ chemins equiprobables ($(+1,+1,-1)$, $(+1,-1,+1)$, $(-1,+1,+1)$) : $$P(X = 1) = 3p^2(1-p)$$

Étape 5

L'événement « la position finale est strictement positive » correspond à $E = (X > 0) = (X = 1) \text{ ou } (X = 3)$. La probabilité de cet événement est : $$P(X > 0) = P(X = 1) + P(X = 3) = 3p^2(1-p) + p^3$$

Étape 6

En développant et factorisant cette expression, on obtient : $$P(X > 0) = 3p^2 - 3p^3 + p^3 = 3p^2 - 2p^3 = p^2(3 - 2p)$$

Étape 7

L'énoncé donne la probabilité conditionnelle $P_{X > 0}(X = 3) = \frac{4}{7}$. Par définition d'une probabilité conditionnelle : $$P_{X > 0}(X = 3) = \frac{P((X = 3) \text{ et } (X > 0))}{P(X > 0)} = \frac{P(X = 3)}{P(X > 0)}$$

Étape 8

En remplaçant par les expressions en fonction de $p$ : $$P_{X > 0}(X = 3) = \frac{p^3}{p^2(3 - 2p)}$$

Étape 9

Puisque $p \neq 0$, on simplifie par $p^2$ au numérateur et au dénominateur : $$P_{X > 0}(X = 3) = \frac{p}{3 - 2p}$$

Étape 10

On pose l'équation transmise par l'énoncé : $$\frac{p}{3 - 2p} = \frac{4}{7}$$

Étape 11

En utilisant le produit en croix, cela équivaut à : $$7p = 4(3 - 2p)$$ $$7p = 12 - 8p$$ $$15p = 12$$ $$p = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$$

Étape 12

La valeur exacte de $p$ sous forme d'une fraction irréductible est $4/5$.