Exercice : Prolongements théoriques sur l'indépendance

Étape 1

Considérons la première expérience constituée de $3$ tirages successifs et indépendants.

Étape 2

L'événement « obtenir au moins un succès » est l'événement contraire de « n'obtenir aucun succès ».

Étape 3

Pour un tirage, la probabilité de l'échec est $P(\bar{S}) = 1 - p$. Par indépendance des tirages, la probabilité de n'obtenir aucun succès lors de $3$ tirages est : $$P(\bar{S}\bar{S}\bar{S}) = (1 - p)^3$$

Étape 4

On en déduit l'expression de la probabilité d'obtenir au moins un succès : $$1 - (1 - p)^3 = \dfrac{19}{27}$$

Étape 5

Ce qui équivaut à : $$(1 - p)^3 = 1 - \dfrac{19}{27} = \dfrac{8}{27}$$

Étape 6

Comme $\left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{8}{27}$, on obtient : $$1 - p = \dfrac{2}{3} \quad \text{soit} \quad p = 1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$$

Étape 7

Considérons à présent la seconde expérience constituée de $4$ tirages successifs et indépendants avec $p = \dfrac{1}{3}$ et $P(\bar{S}) = \dfrac{2}{3}$.

Étape 8

En modélisant la situation par un arbre pondéré à $4$ niveaux, les issues contenant exactement $3$ succès correspondent aux chemins comportant $3$ fois l'événement $S$ et $1$ fois l'événement $\bar{S}$.

Étape 9

Il existe $4$ chemins distincts vérifiant cette propriété : $(S,S,S,\bar{S})$, $(S,S,\bar{S},S)$, $(S,\bar{S},S,S)$ et $(\bar{S},S,S,S)$.

Étape 10

Chaque chemin a pour probabilité : $$\left(\dfrac{1}{3}\right)^3 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{27} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{81}$$

Étape 11

Ces chemins étant incompatibles, la probabilité recherchée est la somme de leurs probabilités : $$4 \times \dfrac{2}{81} = \dfrac{8}{81}$$