Matiko Logo

2 ex.

Difficulté :
L'essentiel du cours (1 notion)

Formule des probabilités totales

Définition : Des événements $A_1, \dots, A_n$ (non vides) forment une partition de l'univers $\Omega$ s'ils sont deux à deux disjoints ($A_i \cap A_j = \emptyset$ pour $i \neq j$) et que leur réunion forme $\Omega$.

Formule : Pour une partition $(A_1, \dots, A_n)$ : $P(B) = P(A_1 \cap B) + \dots + P(A_n \cap B)$ Cas usuel avec $A$ et $\bar{A}$ : $P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\bar{A}) \times P_{\bar{A}}(B)$

Méthode : Sur un arbre pondéré, calculer $P(B)$ en additionnant les probabilités de tous les chemins menant à l'événement $B$.

★ Standard

Dans une entreprise, $40\,\%$ des employés sont des cadres, et les autres sont non-cadres.

On sait également que :

  • $70\,\%$ des cadres utilisent les transports en commun ;
  • $50\,\%$ des non-cadres utilisent les transports en commun.

On choisit un employé au hasard. On note $C$ l'événement « L'employé est un cadre » et $T$ l'événement « L'employé utilise les transports en commun ».

En utilisant la formule des probabilités totales, déterminer la probabilité $P(T)$ que l'employé choisisse les transports en commun.

Saisir la valeur de $P(T)$ sous forme décimale.
★★ Avancé

Une entreprise propose deux formules d'abonnement, notées $A_1$ et $A_2$. Les événements $A_1$ et $A_2$ forment un système complet d'événements (partition de l'univers $\Omega$), c'est-à-dire qu'ils sont disjoints ($A_1 \cap A_2 = \emptyset$) et que leur réunion est l'univers ($A_1 \cup A_2 = \Omega$).

Les abonnés peuvent souscrire une option payante notée $S$. On dispose des informations suivantes :

  • La probabilité qu'un abonné souscrive l'option $S$ sachant qu'il a la formule $A_1$ est égale à $0{,}6$.
  • La probabilité qu'un abonné souscrive l'option $S$ sachant qu'il a la formule $A_2$ est égale à $0{,}3$.
  • La probabilité globale qu'un abonné pris au hasard ait souscrit l'option $S$ est $P(S) = 0{,}42$.

On note $p = P(A_1)$ la probabilité qu'un abonné ait choisi la formule $A_1$.

  1. Exprimer $P(A_2)$ en fonction de $p$.
  2. En utilisant la formule des probabilités totales, déterminer la valeur de $p$.

Saisir la valeur de $p = P(A_1)$.