Exercice : Formule des probabilités totales

Étape 1

Les événements $C$ et $\overline{C}$ sont deux à deux disjoints ($C \cap \overline{C} = \emptyset$) et leur réunion forme l'univers $\Omega$ ($C \cup \overline{C} = \Omega$). Ils constituent donc une partition de l'univers.

Étape 2

D'après l'énoncé, on traduit les données sous forme de probabilités :

Étape 3

$$P(C) = 0{,}40 \quad \text{et} \quad P(\overline{C}) = 1 - 0{,}40 = 0{,}60$$

Étape 4

$$P_C(T) = 0{,}70 \quad \text{et} \quad P_{\overline{C}}(T) = 0{,}50$$

Étape 5

D'après la formule des probabilités totales, la probabilité de l'événement $T$ est égale à la somme des probabilités des intersections :

Étape 6

$$P(T) = P(C \cap T) + P(\overline{C} \cap T)$$

Étape 7

En appliquant la formule de la probabilité conditionnelle :

Étape 8

$$P(T) = P(C) \times P_C(T) + P(\overline{C}) \times P_{\overline{C}}(T)$$

Étape 9

On remplace par les valeurs numériques :

Étape 10

$$P(T) = 0{,}40 \times 0{,}70 + 0{,}60 \times 0{,}50 = 0{,}28 + 0{,}30 = 0{,}58$$

Étape 11

La probabilité qu'un employé choisi au hasard utilise les transports en commun est égale à $0{,}58$.