Exercice probabilites conditionnelles, probabilites totales — Formule des probabilités totales (1ère Spécialité)

★★ Avancé

Une entreprise propose deux formules d'abonnement, notées $A_1$ et $A_2$. Les événements $A_1$ et $A_2$ forment un système complet d'événements (partition de l'univers $\Omega$), c'est-à-dire qu'ils sont disjoints ($A_1 \cap A_2 = \emptyset$) et que leur réunion est l'univers ($A_1 \cup A_2 = \Omega$).

Les abonnés peuvent souscrire une option payante notée $S$. On dispose des informations suivantes :

La probabilité qu'un abonné souscrive l'option $S$ sachant qu'il a la formule $A_1$ est égale à $0{,}6$.
La probabilité qu'un abonné souscrive l'option $S$ sachant qu'il a la formule $A_2$ est égale à $0{,}3$.
La probabilité globale qu'un abonné pris au hasard ait souscrit l'option $S$ est $P(S) = 0{,}42$.

On note $p = P(A_1)$ la probabilité qu'un abonné ait choisi la formule $A_1$.

Exprimer $P(A_2)$ en fonction de $p$.
En utilisant la formule des probabilités totales, déterminer la valeur de $p$.

Saisir la valeur de $p = P(A_1)$.

Correction détaillée Étape par étape

✓

Réponse finale

0,4

Étape 1

Comme les événements $A_1$ et $A_2$ forment une partition de l'univers $\Omega$, on a $P(A_1) + P(A_2) = 1$. D'où :

Étape 2

$$P(A_2) = 1 - p$$

Étape 3

Les événements $A_1$ et $A_2$ formant une partition de l'univers $\Omega$, la formule des probabilités totales donne :

Étape 4

$$P(S) = P(A_1) \times P(S \mid A_1) + P(A_2) \times P(S \mid A_2)$$

Étape 5

En remplaçant par les valeurs données dans l'énoncé, on obtient :

Étape 6

$$0{,}42 = p \times 0{,}6 + (1 - p) \times 0{,}3$$

Étape 7

On développe le membre de droite :

Étape 8

$$0{,}42 = 0{,}6p + 0{,}3 - 0{,}3p$$

Étape 9

$$0{,}42 = 0{,}3p + 0{,}3$$

Étape 10

On isole le terme contenant $p$ en retranchant $0{,}3$ de chaque côté :

Étape 11

$$0{,}12 = 0{,}3p$$

Étape 12

Ce qui équivaut à :

Étape 13

$$p = \frac{0{,}12}{0{,}3} = 0{,}4$$

Étape 14

La probabilité $p = P(A_1)$ est donc égale à $0{,}4$.

Méthode clé

Lorsque deux événements forment une partition de l'univers, la somme de leurs probabilités est égale à 1. La formule des probabilités totales permet alors de poser une équation du premier degré en l'inconnue $p$.

Piège à éviter

Oublier d'exprimer $P(A_2)$ en fonction de $p$ (c'est-à-dire $1 - p$) lors de l'application de la formule des probabilités totales.

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Exercice : Formule des probabilités totales

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