Configurations géométriques et suites complexes
L'essentiel du cours (3 notions)
Quotient d'affixes et configurations géométriques
Propriété : Pour $A(a)$, $B(b)$ et $C(c)$ distincts : $\left|\frac{c-a}{b-a}\right| = \frac{AC}{AB}$ et $\arg\left(\frac{c-a}{b-a}\right) \equiv (\vec{AB}, \vec{AC}) \pmod{2\pi}$.
Méthode : • Alignement ($A,B,C$) : $\frac{c-a}{b-a} \in \mathbb{R}$ (argument $0$ ou $\pi$). • Orthogonalité ($(AB) \perp (AC)$) : $\frac{c-a}{b-a} \in i\mathbb{R}^*$ (argument $\pm\frac{\pi}{2}$).
Exemple : Si $\frac{c-a}{b-a} = 2i$, alors $(AB) \perp (AC)$ et $AC = 2AB$.
Recherche d'ensembles de points complexes
Propriété : • $|z-a|=|z-b| \iff MA=MB$ (médiatrice du segment $[AB]$). • $|z-a|=R \iff MA=R$ (cercle de centre $A(a)$ et de rayon $R$).
Méthode : • $\arg\left(\frac{z-a}{z-b}\right) \equiv 0 \pmod{\pi} \iff M \in (AB) \setminus \{A,B\}$. • $\arg\left(\frac{z-a}{z-b}\right) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{\pi} \iff M$ sur le cercle de diamètre $[AB] \setminus \{A,B\}$.
Exemple : $|z-2|=|z+i| \iff MA=MB$ avec $A(2)$ et $B(-i)$ : médiatrice de $[AB]$.
Suites complexes arithmético-géométriques
Propriété : Si $a \neq 1$, $z_{n+1} = az_n + b$ admet un point fixe $\omega = \frac{b}{1-a}$. La suite $v_n = z_n - \omega$ est géométrique de raison $a$.
Méthode : 1. Calculer le point fixe $\omega = a\omega + b$. 2. Écrire $v_n = z_n - \omega = (z_0 - \omega)a^n$. 3. En déduire $z_n = a^n(z_0 - \omega) + \omega$.
Exemple : Pour $z_{n+1} = \frac{1}{2}i z_n + 1$, $\omega = \frac{4+2i}{5}$. Comme $\left|\frac{1}{2}i\right| < 1$, $z_n \to \omega$.
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O; \vec{u}, \vec{v})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives :
$$z_A = 1 + 2i, \quad z_B = 3 + 5i \quad \text{et} \quad z_C = k + 6i$$où $k$ est un nombre réel.
- Exprimer le quotient $Z = \dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ sous forme algébrique en fonction de $k$.
- Justifier que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ si et seulement si la partie réelle de $Z$ est nulle et sa partie imaginaire est non nulle.
- En déduire la valeur du réel $k$ pour laquelle le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
Saisir la valeur du réel $k$.
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct, on considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A = -1 + 2i$ et $z_B = 3 + 4i$.
Soit $k$ un nombre réel et $C$ le point d'affixe $z_C = k + 7i$.
Déterminer la valeur du réel $k$ pour laquelle le point $C$ appartient à la médiatrice du segment $[AB]$.
Saisir la valeur du réel $k$.
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct, on considère trois points distincts $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$ vérifiant :
$$\frac{c - a}{b - a} = -\sqrt{3} + \text{i}$$En utilisant l'argument de ce quotient, déterminer la mesure en degrés de l'angle orienté $(\vec{AB}, \vec{AC})$ dans l'intervalle $]-180^\circ ; 180^\circ]$.
Saisir la mesure de l'angle en degrés :
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O; \vec{u}, \vec{v})$, on considère les points $A$, $B$ et $M_k$ d'affixes respectives :
$$a = 1 + 2\text{i}, \quad b = 5 + 4\text{i} \quad \text{et} \quad z_k = k + \text{i}$$où $k$ est un nombre réel strictement supérieur à $3$.
Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour laquelle le triangle $ABM_k$ est rectangle en $M_k$.
Saisir la valeur de $k$.
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O; \vec{u}, \vec{v})$, on considère pour tout réel $k > 0$ les points $A$ et $B_k$ d'affixes respectives :
$$z_A = -2 + \mathrm{i} \quad \text{et} \quad z_{B_k} = 4 + k\mathrm{i}$$
On note $\mathcal{E}_k$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que :
$$\arg\left(\frac{z - z_A}{z - z_{B_k}}\right) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod \pi$$
On admet que cet ensemble $\mathcal{E}_k$ est inclus dans une courbe fermée $\mathcal{C}_k$ qui admet l'axe des abscisses pour tangente.
Saisir la valeur du réel $k$.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O; \vec{u}, \vec{v})$.
On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives :
- $z_A = 2 + \mathrm{i}$
- $z_B = 5 + 2\mathrm{i}$
- $z_C = k + 7\mathrm{i}$, où $k$ est un nombre réel.
On sait qu'une mesure de l'angle orienté $(\vec{AB}, \vec{AC})$ est égale à $\dfrac{\pi}{4}$.
Déterminer la valeur du réel $k$.
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct, on considère les trois points $A$, $B$ et $C_n$ d'affixes respectives $a$, $b$ et $c_n$ définis de la façon suivante :
- $a$ est la solution à partie imaginaire strictement positive de l'équation $z^2 - 4z + 13 = 0$ ;
- $b = 3 + (3 + \sqrt{3})i$ ;
- Pour tout entier $n \ge 1$, $c_n = a + (\sqrt{3} + i)^n$.
Déterminer la plus petite valeur entière $n \ge 1$ pour laquelle les droites $(AB)$ et $(AC_n)$ sont orthogonales.
Soit $k$ un nombre réel strictement supérieur à $3$. On considère la suite de nombres complexes $(z_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $z_0 = k + 4i$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ par :
$$z_{n+1} = \left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) z_n + \frac{9}{2} - i\frac{3\sqrt{3}}{2}$$Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct, on note $M_n$ le point d'affixe $z_n$. Sachant que la distance entre les deux premiers points de la suite vaut $M_0 M_1 = 5\sqrt{3}$, déterminer la valeur du réel $k$.
Saisir la valeur de $k$.