Exercice : Configurations géométriques et suites complexes

Étape 1

On pose $Z = \frac{c - a}{b - a} = -\sqrt{3} + \text{i}$.

Étape 2

On calcule le module de $Z$ :$$|Z| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$$

Étape 3

On factorise par le module pour déterminer la forme trigonométrique :$$Z = 2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\text{i}\right)$$On cherche un réel $\theta$ tel que $\cos(\theta) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin(\theta) = \frac{1}{2}$. On obtient $\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Ainsi, un argument de $Z$ est $\frac{5\pi}{6}$.

Étape 4

D'après l'interprétation géométrique de l'argument d'un quotient d'affixes, on a :$$(\vec{AB}, \vec{AC}) = \arg\left(\frac{c - a}{b - a}\right) = \frac{5\pi}{6} \pmod{2\pi}$$

Étape 5

On convertit cette mesure en degrés :$$\frac{5\pi}{6} \text{ rad} = \frac{5 \times 180^\circ}{6} = 150^\circ$$Cette valeur appartient bien à l'intervalle $]-180^\circ ; 180^\circ]$.