Étape 1
On cherche l'affixe $\omega$ du point fixe $\Omega$ de la transformation complexe associée à la suite, c'est-à-dire la solution de l'équation $\omega = a\omega + b$ :$$\omega = \left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\omega + \frac{9}{2} - i\frac{3\sqrt{3}}{2}$$
Étape 2
Ce qui équivaut à :$$\left(\frac{3}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\omega = \frac{9}{2} - i\frac{3\sqrt{3}}{2}$$En multipliant de part et d'autre par $2$, on obtient $(3 - i\sqrt{3})\omega = 9 - 3i\sqrt{3} = 3(3 - i\sqrt{3})$, d'où $\omega = 3$.
Étape 3
Pour tout $n \in \mathbb{N}$, la suite vérifie la relation $z_{n+1} - 3 = a(z_n - 3)$ avec $a = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{i\frac{2\pi}{3}}$. En particulier, pour $n = 0$, on a $z_1 - 3 = a(z_0 - 3)$.
Étape 4
Exprimons le vecteur $\overrightarrow{M_0 M_1}$ par son affixe $z_1 - z_0$ :$$z_1 - z_0 = (z_1 - 3) - (z_0 - 3) = a(z_0 - 3) - (z_0 - 3) = (a - 1)(z_0 - 3)$$
Étape 5
Calculons le module de $a - 1$ :$$a - 1 = -\frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$$$$|a - 1|^2 = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} + \frac{3}{4} = 3$$D'où $|a - 1| = \sqrt{3}$. On en déduit que la distance $M_0 M_1$ s'écrit :$$M_0 M_1 = |z_1 - z_0| = |a - 1| \cdot |z_0 - 3| = \sqrt{3} |z_0 - 3|$$
Étape 6
D'après l'énoncé, $M_0 M_1 = 5\sqrt{3}$, ce qui donne :$$\sqrt{3} |z_0 - 3| = 5\sqrt{3} \quad \text{ce qui équivaut à} \quad |z_0 - 3| = 5$$
Étape 7
Comme $z_0 = k + 4i$, l'affixe $z_0 - 3$ s'écrit $(k - 3) + 4i$. Son module au carré vaut :$$|z_0 - 3|^2 = (k - 3)^2 + 4^2 = (k - 3)^2 + 16$$L'égalité $|z_0 - 3| = 5$ implique donc $(k - 3)^2 + 16 = 25$, c'est-à-dire $(k - 3)^2 = 9$.
Étape 8
Comme $k > 3$, la condition $k - 3 > 0$ impose $k - 3 = 3$, d'où $k = 6$.
Méthode clé
Pour étudier la suite $z_{n+1} = a z_n + b$, on détermine d'abord son point fixe $\omega = \frac{b}{1-a}$, ce qui permet d'écrire $z_{n+1} - \omega = a(z_n - \omega)$ et d'exploiter la géométrie de la transformation.
Piège à éviter
Calculer directement $z_1$ sous forme algébrique en développant tout en fonction de $k$, ce qui entraîne des calculs algébriques extrêmement lourds et très sujets aux erreurs.
