Exercice : Configurations géométriques et suites complexes

Étape 1

Le point $C$ appartient à la médiatrice du segment $[AB]$ si et seulement si $CA = CB$, ce qui s'écrit avec les modules $$|z_C - z_A| = |z_C - z_B|$$

Étape 2

Calculons les affixes des vecteurs $\vec{AC}$ et $\vec{BC}$ : $$z_C - z_A = (k + 7i) - (-1 + 2i) = (k + 1) + 5i$$ $$z_C - z_B = (k + 7i) - (3 + 4i) = (k - 3) + 3i$$

Étape 3

L'égalité des distances $CA = CB$ équivaut à l'égalité de leurs carrés $CA^2 = CB^2$ : $$(k + 1)^2 + 5^2 = (k - 3)^2 + 3^2$$

Étape 4

En développant les deux membres, on obtient : $$k^2 + 2k + 1 + 25 = k^2 - 6k + 9 + 9$$ ce qui se simplifie en $$k^2 + 2k + 26 = k^2 - 6k + 18$$

Étape 5

En soustrayant $k^2$ de chaque côté et en regroupant les termes en $k$ : $$2k + 6k = 18 - 26$$ $$8k = -8$$ D'où $$k = -1$$