Étape 1
D'après le cours sur l'interprétation géométrique des nombres complexes, pour tous points distincts $A$, $B$ et $C$, une mesure de l'angle orienté $(\vec{AB}, \vec{AC})$ est donnée par : $$(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \arg\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) \pmod{2\pi}$$
Étape 2
Calculons les affixes des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ : $$z_B - z_A = (5 + 2\mathrm{i}) - (2 + \mathrm{i}) = 3 + \mathrm{i}$$ $$z_C - z_A = (k + 7\mathrm{i}) - (2 + \mathrm{i}) = (k - 2) + 6\mathrm{i}$$
Étape 3
Déterminons la forme algébrique du quotient $Z = \dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ en multipliant par le conjugué du dénominateur : $$Z = \frac{(k - 2) + 6\mathrm{i}}{3 + \mathrm{i}} = \frac{((k - 2) + 6\mathrm{i})(3 - \mathrm{i})}{3^2 + 1^2}$$ $$Z = \frac{3(k - 2) + 6 + \mathrm{i}(18 - (k - 2))}{10} = \frac{3k + \mathrm{i}(20 - k)}{10}$$
Étape 4
La condition $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \dfrac{\pi}{4} \pmod{2\pi}$ signifie que $\arg(Z) \equiv \dfrac{\pi}{4} \pmod{2\pi}$, ce qui équivaut à : $$\operatorname{Re}(Z) = \operatorname{Im}(Z) \quad \text{et} \quad \operatorname{Re}(Z) > 0$$
Étape 5
En égalant les deux composantes, on obtient : $$\frac{3k}{10} = \frac{20 - k}{10}$$ d'où $3k = 20 - k$, soit $4k = 20$, ce qui donne $k = 5$.
Étape 6
Pour $k = 5$, on a $\operatorname{Re}(Z) = \dfrac{15}{10} = 1{,}5 > 0$, la condition de positivité est donc bien vérifiée.
Méthode clé
Un angle orienté $(\vec{AB}, \vec{AC})$ correspond à l'argument du quotient $(z_C - z_A)/(z_B - z_A)$ modulo $2\pi$. Avoir un argument de $\pi/4$ équivaut à l'égalité de la partie réelle et de la partie imaginaire, toutes deux strictement positives.
Piège à éviter
Oublier la condition de positivité : l'égalité de la partie réelle et de la partie imaginaire peut également correspondre à un argument égal à $-3\pi/4$ si elles sont négatives.
