Étape 1
Pour déterminer l'affixe $a$, on résout dans $\mathbb{C}$ l'équation du second degré $z^2 - 4z + 13 = 0$. Le discriminant est $\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 13 = 16 - 52 = -36 = (6i)^2$. Les solutions sont donc $z_1 = \frac{4 - 6i}{2} = 2 - 3i$ et $z_2 = \frac{4 + 6i}{2} = 2 + 3i$. La solution à partie imaginaire strictement positive est $a = 2 + 3i$.
Étape 2
On exprime le complexe $b - a$ sous forme exponentielle : $$b - a = (3 + (3 + \sqrt{3})i) - (2 + 3i) = 1 + i\sqrt{3}$$ Le module de $b - a$ vaut $|b - a| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$. Un argument $\theta$ de $b - a$ vérifie $\cos\theta = \frac{1}{2}$ et $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$, d'où $\theta \equiv \frac{\pi}{3} \pmod{2\pi}$. Ainsi, $b - a = 2 e^{i\frac{\pi}{3}}$.
Étape 3
On exprime le complexe $c_n - a$ sous forme exponentielle : $$c_n - a = (\sqrt{3} + i)^n$$ On calcule le module et un argument du nombre complexe $\sqrt{3} + i$ : $|\sqrt{3} + i| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2$, et $\sqrt{3} + i = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right) = 2 e^{i\frac{\pi}{6}}$. Par les propriétés de la forme exponentielle, on obtient : $$c_n - a = \left(2 e^{i\frac{\pi}{6}}\right)^n = 2^n e^{i\frac{n\pi}{6}}$$
Étape 4
On étudie le quotient $Z_n = \frac{c_n - a}{b - a}$ : $$Z_n = \frac{2^n e^{i\frac{n\pi}{6}}}{2 e^{i\frac{\pi}{3}}} = 2^{n-1} e^{i\left(\frac{n\pi}{6} - \frac{\pi}{3}\right)} = 2^{n-1} e^{i\frac{(n-2)\pi}{6}}$$ Un argument de $Z_n$ est donc $\arg(Z_n) \equiv \frac{(n-2)\pi}{6} \pmod{2\pi}$.
Étape 5
Les droites $(AB)$ et $(AC_n)$ sont orthogonales si et seulement si l'angle orienté $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC_n})$ est égal à $\frac{\pi}{2} \pmod{\pi}$, ce qui équivaut à : $$\arg\left(\frac{c_n - a}{b - a}\right) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{\pi}$$ ce qui donne : $$\frac{(n-2)\pi}{6} \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{\pi}$$ En divisant par $\pi$, cela équivaut à $\frac{n-2}{6} \equiv \frac{1}{2} \pmod 1$, soit $n - 2 \equiv 3 \pmod 6$, d'où $n \equiv 5 \pmod 6$.
Étape 6
Les entiers $n \ge 1$ vérifiant cette condition sont de la forme $n = 5 + 6k$ avec $k \in \mathbb{N}$. La plus petite valeur entière strictement positive est obtenue pour $k = 0$, soit $n = 5$.
Méthode clé
Deux droites $(AB)$ et $(AC)$ d'affixes $a, b, c$ sont orthogonales si et seulement si $\arg\left(\frac{c-a}{b-a}\right) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{\pi}$.
Piège à éviter
Oublier le modulo $\pi$ dans l'égalité d'angles pour l'orthogonalité de deux droites (confondre l'angle de deux droites et l'angle orienté de deux vecteurs).
