Étape 1
Pour tout point $M$ d'affixe $z$ distinct de $A$ et de $B_k$, on a l'égalité angulaire : $$\arg\left(\frac{z - z_A}{z - z_{B_k}}\right) \equiv (\vec{MB_k}, \vec{MA}) \pmod \pi$$
Étape 2
La condition de l'énoncé équivaut donc à : $$(\vec{MB_k}, \vec{MA}) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod \pi$$ Ce qui signifie que les vecteurs $\vec{MA}$ et $\vec{MB_k}$ sont orthogonaux. L'ensemble $\mathcal{E}_k$ est donc le cercle de diamètre $[AB_k]$, privé des points $A$ et $B_k$. La courbe $\mathcal{C}_k$ est ce cercle.
Étape 3
Le centre $\Omega_k$ du cercle est le milieu du segment $[AB_k]$. Son affixe est donnée par : $$z_{\Omega_k} = \frac{z_A + z_{B_k}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} + \mathrm{i}\frac{1 + k}{2} = 1 + \frac{k + 1}{2}\mathrm{i}$$
Étape 4
Le rayon $R_k$ du cercle est égal à la moitié de la longueur $AB_k$ : $$R_k = \frac{1}{2}|z_{B_k} - z_A| = \frac{1}{2}|6 + (k - 1)\mathrm{i}| = \frac{\sqrt{6^2 + (k - 1)^2}}{2} = \frac{\sqrt{36 + (k - 1)^2}}{2}$$
Étape 5
Le cercle est tangent à l'axe des abscisses (droite d'équation $y = 0$) si et seulement si la distance du centre $\Omega_k$ à cet axe est égale à son rayon $R_k$. Comme $k > 0$, l'ordonnée de $\Omega_k$ est strictement positive, donc cette distance vaut $\frac{k + 1}{2}$.
Étape 6
On obtient l'équation : $$\frac{k + 1}{2} = \frac{\sqrt{36 + (k - 1)^2}}{2}$$ En élevant au carré et en multipliant par $4$, cela équivaut à : $$(k + 1)^2 = 36 + (k - 1)^2$$
Étape 7
En développant chaque membre : $$k^2 + 2k + 1 = 36 + k^2 - 2k + 1$$ ce qui se simplifie en : $$4k = 36$$ d'où $k = 9$.
Méthode clé
La condition $\arg\left(\frac{z-a}{z-b}\right) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod \pi$ caractérise l'orthogonalité des vecteurs et définit le cercle de diamètre reliant les deux points donnés, privé de ces points.
Piège à éviter
Oublier que le rayon d'un cercle de diamètre $[AB]$ est la moitié de la distance $AB$, et non la distance $AB$ elle-même.
