Exercice : Configurations géométriques et suites complexes

Étape 1

Calculons les différences d'affixes :

Étape 2

$$z_B - z_A = (3 + 5i) - (1 + 2i) = 2 + 3i$$

Étape 3

$$z_C - z_A = (k + 6i) - (1 + 2i) = (k - 1) + 4i$$

Étape 4

Exprimons le quotient $Z$ sous forme algébrique en multipliant par le conjugué $2 - 3i$ :

Étape 5

$$Z = \frac{(k - 1) + 4i}{2 + 3i} = \frac{((k - 1) + 4i)(2 - 3i)}{2^2 + 3^2} = \frac{2(k - 1) - 3(k - 1)i + 8i + 12}{13}$$

Étape 6

$$Z = \frac{(2k + 10) + i(11 - 3k)}{13} = \frac{2k + 10}{13} + i \, \frac{11 - 3k}{13}$$

Étape 7

Par interprétation géométrique du complexe $Z$, une mesure de l'angle orienté $(\vec{AB}, \vec{AC})$ est donnée par $\arg(Z) \pmod{2\pi}$.

Étape 8

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ si et seulement si les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont orthogonales, ce qui équivaut à :

Étape 9

$$(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{\pi}$$

Étape 10

Ceci signifie que le nombre complexe $Z$ est un imaginaire pur non nul, c'est-à-dire que $\text{Re}(Z) = 0$ et $\text{Im}(Z) \neq 0$.

Étape 11

Résolvons l'équation $\text{Re}(Z) = 0$ :

Étape 12

$$\frac{2k + 10}{13} = 0 \iff 2k + 10 = 0 \iff k = -5$$

Étape 13

Vérifions que pour $k = -5$, la partie imaginaire est non nulle :

Étape 14

$$\text{Im}(Z) = \frac{11 - 3(-5)}{13} = \frac{26}{13} = 2 \neq 0$$

Étape 15

Ainsi, le quotient vaut $Z = 2i$, son argument est bien $\frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$. La valeur recherchée est $k = -5$.