Épreuves indépendantes et arbres
L'essentiel du cours (2 notions)
Modéliser une succession d'épreuves
Définition : Des épreuves sont indépendantes si le résultat de l'une n'influe pas sur les probabilités des issues des autres.
Méthode : 1. Identifier les épreuves et leurs issues. 2. Représenter la situation par un arbre pondéré (2 ou 3 épreuves) ou par des n-uplets dans $\{0,1\}^n$.
Calculs de probabilités sur un arbre
Propriété : • Épreuves indépendantes : $P(x_1, \dots, x_n) = P(x_1) \times \dots \times P(x_n)$. • Probabilités totales : somme des probabilités des chemins menant à l'événement.
Méthode : 1. Multiplier les probabilités le long d'un chemin. 2. Additionner les probabilités des chemins menant à l'événement visé.
On répète 3 fois de manière indépendante et dans des conditions identiques une même épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès est notée $p$ (avec $0 < p < 1$).
La probabilité d'obtenir trois succès consécutifs est égale à $0{,}343$.
Déterminer la valeur de $p$.
Un système informatique réalise une succession de $3$ tests indépendants. Pour chaque test, la probabilité de réussite est égale à une constante $p$, avec $0 < p < 1$.
On sait que la probabilité que les $3$ tests soient réussis, sachant qu'au moins $2$ tests ont été réussis, est égale à $\dfrac{1}{3}$.
Saisir la valeur de $p$ sous forme décimale.
Un dispositif de contrôle qualité effectue trois tests successifs et indépendants sur une pièce fabriquée. Pour chaque test, la probabilité que le test détecte un défaut est égale à un même nombre réel $p$ compris entre $0$ et $1$.
On sait que la probabilité qu'au moins l'un des trois tests détecte un défaut est égale à $0{,}784$.
Saisir la valeur de $p$ sous forme décimale.