Exercice : Épreuves indépendantes et arbres

Étape 1

Considérons l'événement $A$ : « au moins l'un des trois tests détecte un défaut ».

Étape 2

L'événement contraire $\overline{A}$ correspond à : « aucun des trois tests ne détecte de défaut ».

Étape 3

Pour chaque test, la probabilité de ne pas détecter de défaut est égale à $1 - p$.

Étape 4

Les trois tests étant indépendants, la probabilité que les trois tests ne détectent aucun défaut est donnée par la propriété multiplicative : $$P(\overline{A}) = (1 - p) \times (1 - p) \times (1 - p) = (1 - p)^3$$

Étape 5

On en déduit l'expression de la probabilité de l'événement $A$ : $$P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - (1 - p)^3$$

Étape 6

D'après l'énoncé, $P(A) = 0{,}784$. On obtient ainsi l'équation : $$1 - (1 - p)^3 = 0{,}784$$

Étape 7

Ce qui équivaut à : $$(1 - p)^3 = 1 - 0{,}784 = 0{,}216$$

Étape 8

On cherche le nombre dont le cube vaut $0{,}216$. Comme $0{,}6^3 = 0{,}216$, on en déduit : $$1 - p = 0{,}6$$

Étape 9

D'où $p = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$.