Étape 1
Chaque test constitue une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$. La succession de 3 tests indépendants peut être représentée par un arbre de probabilités comportant $2^3 = 8$ issues associées à l'univers $\Omega = \{S, E\}^3$, où $S$ désigne la réussite d'un test et $E$ son échec.
Étape 2
Notons $A$ l'événement « les 3 tests sont réussis » et $B$ l'événement « au moins 2 tests sont réussis ». L'événement $A$ correspond à l'issue unique $(S, S, S)$. L'événement $B$ réunit les issues $(S, S, S)$, $(S, S, E)$, $(S, E, S)$ et $(E, S, S)$.
Étape 3
Par indépendance des épreuves, la probabilité de l'événement $A$ est : $$P(A) = p^3$$ L'événement $B$ est constitué de l'issue $(S,S,S)$ de probabilité $p^3$ et de $3$ issues contenant chacune $2$ succès et $1$ échec, de probabilité $p^2(1-p)$. On a donc : $$P(B) = p^3 + 3p^2(1-p) = p^3 + 3p^2 - 3p^3 = 3p^2 - 2p^3 = p^2(3-2p)$$
Étape 4
Comme l'événement $A$ est inclus dans l'événement $B$, on a $A \cap B = A$, d'où $P(A \cap B) = P(A) = p^3$. La probabilité conditionnelle $P_B(A)$ s'exprime par : $$P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{p^3}{p^2(3-2p)} = \frac{p}{3-2p}$$
Étape 5
D'après l'énoncé, cette probabilité conditionnelle est égale à $\dfrac{1}{3}$. On résout donc l'équation : $$\frac{p}{3-2p} = \frac{1}{3}$$ Ce qui équivaut à : $$3p = 1 \times (3 - 2p)$$ $$3p + 2p = 3$$ $$5p = 3$$ $$p = \frac{3}{5} = 0{,}6$$ La valeur du paramètre $p$ est égale à $0{,}6$.
Méthode clé
Exprimer la probabilité conditionnelle littéralement en fonction du paramètre $p$, puis simplifier le quotient avant de résoudre l'équation du premier degré obtenue.
Piège à éviter
Oublier de dénombrer correctement les 3 issues comportant exactement 2 succès et 1 échec dans le calcul de la probabilité du sachant que.
