Ensembles, n-uplets et symbole $\Sigma$
L'essentiel du cours (2 notions)
Ensembles et symboles de base
Définition : Soit $E$ un ensemble. Un élément $x$ appartient à $A$ ($x \in A$). $A$ est inclus dans $E$ ($A \subset E$) si tout élément de $A$ appartient aussi à $E$.
Propriété : - $A \cup B$ : éléments dans $A$ ou $B$ - $A \cap B$ : éléments dans $A$ et $B$ - $\bar{A}$ ou $E \setminus A$ : complémentaire de $A$ dans $E$
Exemple : Pour $E = \{1; 2; 3; 4\}$ et $A = \{1; 2\}$, le complémentaire est $\bar{A} = \{3; 4\}$.
Produit cartésien et $n$-uplets
Définition : Le produit cartésien $E \times F$ est l'ensemble des couples $(x, y)$ avec $x \in E$ et $y \in F$. Un $n$-uplet est une liste ordonnée de $n$ éléments.
Propriété : Pour des ensembles finis : $\text{Card}(E \times F) = \text{Card}(E) \times \text{Card}(F)$ et $\text{Card}(E^k) = (\text{Card}(E))^k$.
Exemple : Dans l'espace $\mathbb{R}^3$, un point $P(1; 2; -3)$ est représenté par un triplet ordonné.
Dans l'ensemble univers $E = [-10 ; 10]$, on considère les deux sous-ensembles $A = [-4 ; 3]$ et $B_k = [k ; k + 7]$, où $k$ est un nombre réel.
On sait que le complémentaire de la réunion $A \cup B_k$ noté $E \setminus (A \cup B_k)$, est l'ensemble $E \setminus (A \cup B_k) = [-10 ; -4[ \cup ]8{,}5 ; 10]$.
En déterminant d'abord l'intervalle correspondant à la réunion $A \cup B_k$, déterminer la valeur du réel $k$.
Saisir la valeur de $k$.
Soit $E = [-10 ; 10]$ l'ensemble de référence.
On considère les deux sous-ensembles de $E$ suivants :
- $A = \{x \in E \mid 2x + 7 \ge 1\}$
- $B = \left\{x \in E \mid \dfrac{x - 1}{3} \le \dfrac{k}{6}\right\}$ où $k$ est un nombre réel.
On sait que le complémentaire de l'intersection de $A$ et $B$ dans $E$, noté $E \setminus (A \cap B)$, est égal à $[-10 ; -3[ \cup ]5 ; 10]$.
Saisir la valeur de $k$.
Dans l'ensemble des nombres réels $E = \mathbb{R}$, on considère les sous-ensembles suivants :
- $A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 3x - 10 \le 0\}$
- $B_k = ]-\infty, 2k + 1]$ où $k$ est un paramètre entier relatif
- $C_k = [k^2 - 6, +\infty[$ où $k$ est un paramètre entier relatif
On définit le sous-ensemble $D_k = E \setminus (B_k \cup C_k)$.
On cherche la condition sur l'entier $k$ pour que l'inclusion $A \subset D_k$ soit vérifiée.
Saisir le plus grand entier relatif $k$ répondant à cette condition.