Exercice : Ensembles, n-uplets et symbole $\Sigma$

Étape 1

Par définition du complémentaire d'un sous-ensemble dans $E = [-10 ; 10]$, l'ensemble $A \cup B_k$ est constitué de tous les éléments de $E$ qui n'appartiennent pas à $E \setminus (A \cup B_k)$.

Étape 2

Puisque $E \setminus (A \cup B_k) = [-10 ; -4[ \cup ]8{,}5 ; 10]$, on en déduit directement l'expression de la réunion :

Étape 3

$$A \cup B_k = [-4 ; 8{,}5]$$

Étape 4

D'autre part, la réunion des deux intervalles $A = [-4 ; 3]$ et $B_k = [k ; k + 7]$ a pour borne inférieure $-4$ et pour borne supérieure $k + 7$. Pour que cette réunion soit égale à $[-4 ; 8{,}5]$, la borne supérieure de $B_k$ doit être égale à $8{,}5$.

Étape 5

On obtient l'équation :

Étape 6

$$k + 7 = 8{,}5$$

Étape 7

Ce qui équivaut à $k = 8{,}5 - 7$, soit $k = 1{,}5$.

Étape 8

On vérifie que pour $k = 1{,}5$, l'intervalle $B_{1{,}5} = [1{,}5 ; 8{,}5]$ chevauche l'intervalle $A = [-4 ; 3]$ car $1{,}5 \le 3$. La réunion $[-4 ; 3] \cup [1{,}5 ; 8{,}5]$ forme bien l'intervalle continu $[-4 ; 8{,}5]$.