Étape 1
Pour déterminer le paramètre $k$, on procède en identifiant d'abord l'intersection $A \cap B$, puis en exprimant $A$ et $B$ sous forme d'intervalles.
Étape 2
Par définition du complémentaire dans $E = [-10 ; 10]$, l'ensemble $A \cap B$ est le complémentaire dans $E$ de l'ensemble $E \setminus (A \cap B)$. Comme $E \setminus (A \cap B) = [-10 ; -3[ \cup ]5 ; 10]$, son complémentaire dans $[-10 ; 10]$ correspond aux éléments qui n'y appartiennent pas, c'est-à-dire : $$A \cap B = [-3 ; 5]$$
Étape 3
Explicitons à présent les ensembles $A$ et $B$ sous forme d'intervalles. Pour tout réel $x$ de $E$, l'inégalité $2x + 7 \ge 1$ équivaut à $2x \ge -6$, ce qui donne $x \ge -3$. Comme $x \in [-10 ; 10]$, on a : $$A = [-3 ; 10]$$
Étape 4
De même, pour tout réel $x$ de $E$, l'inégalité $\dfrac{x - 1}{3} \le \dfrac{k}{6}$ équivaut à $2(x - 1) \le k$, soit $2x - 2 \le k$, ce qui donne $x \le \dfrac{k + 2}{2}$. Comme $x \in [-10 ; 10]$, on a : $$B = \left[-10 ; \dfrac{k + 2}{2}\right]$$
Étape 5
L'intersection de $A$ et $B$ est donc l'intervalle : $$A \cap B = [-3 ; 10] \cap \left[-10 ; \dfrac{k + 2}{2}\right] = \left[-3 ; \dfrac{k + 2}{2}\right]$$
Étape 6
Par identification des bornes supérieures entre les deux expressions de $A \cap B$, on obtient l'équation : $$\dfrac{k + 2}{2} = 5$$ Ce qui équivaut à $k + 2 = 10$, et donc $k = 8$.
Méthode clé
Pour tout sous-ensemble $X$ d'un ensemble de référence $E$, le complémentaire du complémentaire de $X$ dans $E$ est égal à $X$ lui-même : $E \setminus (E \setminus X) = X$.
Piège à éviter
Attention aux crochets ouverts et fermés lors du passage au complémentaire d'une réunion d'intervalles.
