Étape 1
Déterminons d'abord le sous-ensemble $A$. On résout dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $x^2 - 3x - 10 \le 0$. Le trinôme $x^2 - 3x - 10$ a pour discriminant $\Delta = (-3)^2 - 4 \times 1 \times (-10) = 49 = 7^2$. Ses racines sont $x_1 = \frac{3 - 7}{2} = -2$ et $x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5$. Le coefficient dominant étant strictement positif, le trinôme est négatif ou nul entre ses racines, d'où : $$A = [-2, 5]$$
Étape 2
Exprimons ensuite le sous-ensemble $D_k$. Par définition du complémentaire d'une réunion dans $E = \mathbb{R}$, on a : $$D_k = E \setminus (B_k \cup C_k) = (E \setminus B_k) \cap (E \setminus C_k)$$ Or $E \setminus B_k = ]2k + 1, +\infty[$ et $E \setminus C_k = ]-\infty, k^2 - 6[$. Par intersection de ces deux intervalles, on obtient : $$D_k = ]2k + 1, k^2 - 6[$$
Étape 3
Étudions l'inclusion $A \subset D_k$. L'inclusion $[-2, 5] \subset ]2k + 1, k^2 - 6[$ est vérifiée si et seulement si l'intervalle fermé $[-2, 5]$ est strictement inclus dans l'intervalle ouvert $]2k + 1, k^2 - 6[$, ce qui traduit le système d'inégalités : $$2k + 1 < -2 \quad \text{et} \quad k^2 - 6 > 5$$
Étape 4
Résolvons ce système pour $k \in \mathbb{Z}$ : la première condition $2k + 1 < -2$ équivaut à $2k < -3$, soit $k < -1{,}5$. La seconde condition $k^2 - 6 > 5$ équivaut à $k^2 > 11$, soit $k < -\sqrt{11}$ ou $k > \sqrt{11}$.
Étape 5
Puisque $\sqrt{11} \approx 3{,}31$, la possibilité $k > \sqrt{11}$ est incompatible avec $k < -1{,}5$. La condition simultanée se réduit donc à : $$k < -\sqrt{11}$$ Comme $3 < \sqrt{11} < 4$, on a $-4 < -\sqrt{11} < -3$. L'ensemble des entiers relatifs vérifiant cette condition est $\{\dots, -6, -5, -4\}$. Le plus grand entier relatif cherché est donc $-4$.
Méthode clé
Utiliser la propriété du complémentaire d'une réunion : E \ (B_k U C_k) = (E \ B_k) n (E \ C_k) pour exprimer D_k sous forme d'intervalle.
Piège à éviter
Passer des bornes fermées aux bornes ouvertes lors du passage au complémentaire d'un intervalle.
