Convexité et points d'inflexion
L'essentiel du cours (1 notion)
Convexité, concavité et points d'inflexion
Définition : Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$. $f$ est convexe (resp. concave) sur $I$ si sa courbe est située au-dessus (resp. en dessous) de toutes ses tangentes.
Propriété : Pour $f$ deux fois dérivable sur $I$ : $f$ est convexe sur $I$ $\iff f'$ est croissante sur $I$ $\iff f''(x) \geqslant 0$ pour tout $x \in I$. $A(a ; f(a))$ est un point d'inflexion si $f''$ s'annule et change de signe en $a$.
Méthode : 1. Calculer $f''(x)$ et dresser son tableau de signes sur $I$. 2. Conclure sur la convexité ($f'' \geqslant 0$) ou concavité ($f'' \leqslant 0$) selon les intervalles. 3. Relever les points d'inflexion $A(a ; f(a))$ là où $f''$ s'annule en changeant de signe.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = \frac{1}{12}x^4 + \frac{a}{6}x^3 + 3x^2 - 5x + 1$$où $a$ est un nombre réel.
Sa courbe représentative admet un point d'inflexion au point d'abscisse $-2$.
Saisir la valeur du réel $a$.
Soit $k$ un nombre réel et $f_k$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f_k(x) = x^4 + k x^3 + 6 x^2 - 5 x + 2$$On note $\mathcal{C}_k$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans un repère.
Déterminer la valeur du réel $k$ pour laquelle la courbe $\mathcal{C}_k$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $2$.
Saisir la valeur de $k$.
Dans le cadre d'une étude économique sur la répartition des richesses, on modélise la courbe de Lorenz par la famille de fonctions $f_k$ définies sur $[0,1]$ par :
$$f_k(x) = \frac{x}{k - (k-1)x}$$où $k$ est un paramètre réel strictement supérieur à $1$.
L'écart entre la répartition théorique parfaitement égalitaire et la répartition observée est mesuré par la fonction $d_k$ définie sur $[0,1]$ par $d_k(x) = x - f_k(x)$.
On rappelle que la fonction $f_k$ est strictement croissante et strictement convexe sur $[0,1]$, de sorte que l'écart $d_k(x)$ admet un unique maximum sur $]0,1[$ atteint au point $x_0$ où la dérivée $d_k'(x_0)$ s'annule (c'est-à-dire lorsque $f_k'(x_0) = 1$).
Déterminer la valeur du paramètre $k > 1$ pour laquelle cet écart maximal est égal à $0{,}5$.
Quelle est la valeur du paramètre $k$ ?