Étape 1
La fonction $f_k$ est une fonction polynomiale, donc elle est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.
Étape 2
Calculons la dérivée première $f_k'$ de la fonction $f_k$ pour tout réel $x$ :$$f_k'(x) = 4 x^3 + 3 k x^2 + 12 x - 5$$
Étape 3
Calculons ensuite la dérivée seconde $f_k''$ pour tout réel $x$ :$$f_k''(x) = 12 x^2 + 6 k x + 12$$
Étape 4
Pour que la courbe $\mathcal{C}_k$ admette un point d'inflexion en $x = 2$, la dérivée seconde $f_k''$ doit s'annuler en $2$. Cherchons la condition sur $k$ en résolvant l'équation $f_k''(2) = 0$ :$$12 \times 2^2 + 6 k \times 2 + 12 = 0$$ce qui équivaut à :$$48 + 12 k + 12 = 0$$$$12 k + 60 = 0$$$$k = -5$$
Étape 5
Vérifions désormais que pour $k = -5$, la dérivée seconde s'annule en $x = 2$ en changeant effectivement de signe. En remplaçant $k$ par $-5$, on obtient :$$f_{-5}''(x) = 12 x^2 - 30 x + 12 = 6(2 x^2 - 5 x + 2)$$
Étape 6
Étudions le signe du polynôme du second degré $P(x) = 2 x^2 - 5 x + 2$. Son discriminant vaut :$$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 2 \times 2 = 25 - 16 = 9$$Le discriminant étant strictement positif, $P(x)$ possède deux racines distinctes :$$x_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \times 2} = 0{,}5 \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{5 +
\sqrt{9}}{2 \times 2} = 2$$
Étape 7
Le coefficient du terme en $x^2$ est $2 > 0$. Ainsi, $f_{-5}''(x)$ est strictement négatif sur l'intervalle $]0{,}5 ; 2[$ et strictement positif sur $]2 ; +\infty[$.
Étape 8
La dérivée seconde $f_{-5}''$ s'annule donc en $x = 2$ en changeant de signe, ce qui prouve que la courbe $\mathcal{C}_{-5}$ admet bien un point d'inflexion d'abscisse $2$. La valeur recherchée est $k = -5$.
Méthode clé
La courbe représentative d'une fonction deux fois dérivable $f$ admet un point d'inflexion en $x_0$ si et seulement si sa dérivée seconde $f''$ s'annule en $x_0$ en changeant de signe.
Piège à éviter
Confondre la condition d'annulation de la fonction $f(x_0)=0$ ou de la dérivée première $f'(x_0)=0$ avec celle de la dérivée seconde $f''(x_0)=0$.
