Étape 1
La fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ comme fonction polynomiale. Calculons ses dérivées successives pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
Étape 2
$$f'(x) = 4 \times \frac{1}{12}x^3 + 3 \times \frac{a}{6}x^2 + 6x - 5 = \frac{1}{3}x^3 + \frac{a}{2}x^2 + 6x - 5$$
Étape 3
$$f''(x) = 3 \times \frac{1}{3}x^2 + 2 \times \frac{a}{2}x + 6 = x^2 + ax + 6$$
Étape 4
La courbe représentative de $f$ admet un point d'inflexion en $x = -2$. Par conséquent, la dérivée seconde $f''$ doit s'annuler en ce point, ce qui traduit la relation :
Étape 5
$$f''(-2) = 0$$
Étape 6
En remplaçant $x$ par $-2$ dans l'expression de $f''(x)$, cela équivaut à :
Étape 7
$$(-2)^2 + a \times (-2) + 6 = 0$$
Étape 8
$$4 - 2a + 6 = 0$$
Étape 9
$$10 - 2a = 0$$
Étape 10
D'où $a = 5$.
Étape 11
Vérifions enfin que la dérivée seconde change bien de signe en $x = -2$. Pour $a = 5$, on a :
Étape 12
$$f''(x) = x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$$
Étape 13
Ce trinôme du second degré s'annule en $x = -3$ et $x = -2$. Son coefficient devant $x^2$ étant strictement positif, $f''(x)$ est strictement négative sur $]-3 ; -2[$ et strictement positive sur $]-2 ; +\infty[$. La dérivée seconde s'annule et change donc bien de signe en $x = -2$.
Étape 14
La valeur du réel $a$ est donc $5$.
Méthode clé
Un point d'abscisse $x_0$ est un point d'inflexion de la courbe de $f$ si et seulement si la dérivée seconde $f''$ s'annule en $x_0$ en changeant de signe.
Piège à éviter
Oublier de vérifier que la dérivée seconde change bien de signe autour du point d'annulation.
