Étape 1
Étape 1 : Calcul de la dérivée de $f_k$.
Pour tout $x \in [0,1]$ et $k > 1$, la fonction $f_k$ est sous la forme d'un quotient $\frac{u(x)}{v(x)}$ avec $u(x) = x$ et $v(x) = k - (k-1)x$. On a $u'(x) = 1$ et $v'(x) = -(k-1)$. D'où :
Étape 2
$$f_k'(x) = \frac{1 \cdot (k - (k-1)x) - x \cdot (-(k-1))}{(k - (k-1)x)^2} = \frac{k}{(k - (k-1)x)^2}$$
Étape 3
Étape 2 : Recherche du point d'écart maximal $x_0$.
L'écart $d_k(x) = x - f_k(x)$ a pour dérivée $d_k'(x) = 1 - f_k'(x)$. L'écart est maximal au point $x_0 \in ]0,1[$ vérifiant $d_k'(x_0) = 0$, ce qui équivaut à $f_k'(x_0) = 1$.
Étape 4
$$\frac{k}{(k - (k-1)x_0)^2} = 1 \iff (k - (k-1)x_0)^2 = k$$
Étape 5
Comme $k > 1$ et $x_0 \in ]0,1[$, on a $k - (k-1)x_0 > 0$. On prend donc la racine carrée positive :
Étape 6
$$k - (k-1)x_0 = \sqrt{k} \iff (k-1)x_0 = k - \sqrt{k}$$
Étape 7
En factorisant par $\sqrt{k}$, on obtient $(k-1)x_0 = \sqrt{k}(\sqrt{k} - 1)$. Comme $k-1 = (\sqrt{k}-1)(\sqrt{k}+1)$, il vient :
Étape 8
$$x_0 = \frac{\sqrt{k}(\sqrt{k}-1)}{(\sqrt{k}-1)(\sqrt{k}+1)} = \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{k}+1}$$
Étape 9
Étape 3 : Expression de l'écart maximal $M(k)$.
En utilisant la relation $k - (k-1)x_0 = \sqrt{k}$, l'image $f_k(x_0)$ se simplifie remarquablement :
Étape 10
$$f_k(x_0) = \frac{x_0}{\sqrt{k}} = \frac{1}{\sqrt{k}+1}$$
Étape 11
L'écart maximal vaut donc :
Étape 12
$$M(k) = d_k(x_0) = x_0 - f_k(x_0) = \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{k}+1} - \frac{1}{\sqrt{k}+1} = \frac{\sqrt{k}-1}{\sqrt{k}+1}$$
Étape 13
Étape 4 : Détermination de $k$.
On cherche la valeur de $k > 1$ telle que $M(k) = 0{,}5 = \frac{1}{2}$ :
Étape 14
$$\frac{\sqrt{k}-1}{\sqrt{k}+1} = \frac{1}{2} \iff 2(\sqrt{k}-1) = \sqrt{k}+1 \iff 2\sqrt{k} - 2 = \sqrt{k} + 1$$
Étape 15
Ce qui donne $\sqrt{k} = 3$, d'où $k = 3^2 = 9$.
Méthode clé
Pour optimiser l'écart $d(x) = x - f(x)$ sur une courbe de Lorenz convexe, on cherche le point $x_0$ où la tangente à la courbe est parallèle à la première bissectrice, c'est-à-dire $f'(x_0) = 1$.
Piège à éviter
Conserver des expressions lourdes pour $k - (k-1)x_0$ au lieu de les remplacer par $\sqrt{k}$ grâce à la relation de dérivation.
