Racines n-ièmes de l'unité et applications
L'essentiel du cours (3 notions)
Ensemble $\mathbb{U}_n$ et polygones réguliers
Définition : Pour $n \in \mathbb{N}^*$, $\mathbb{U}_n = \{\mathrm{e}^{i\frac{2k\pi}{n}}, k \in \{0, \dots, n-1\}\}$ est l'ensemble des $n$ solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $z^n = 1$.
Propriété : Pour $n \ge 3$, les points d'affixes $z \in \mathbb{U}_n$ sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité, ayant $A(1)$ pour sommet.
Exemple : Pour $n=3$, $\mathbb{U}_3 = \{1, j, j^2\}$ avec $j = \mathrm{e}^{i\frac{2\pi}{3}}$. Leurs images forment un triangle équilatéral.
Somme des racines $n$-ièmes de l'unité
Propriété : Pour tout $n \ge 2$, la somme de toutes les racines $n$-ièmes de l'unité est nulle : $\sum_{z \in \mathbb{U}_n} z = 0$.
Méthode : 1. Poser $\omega = \mathrm{e}^{i\frac{2\pi}{n}} \neq 1$. Les racines sont les $\omega^k$ pour $k \in \{0, \dots, n-1\}$. 2. Somme géométrique : $\sum_{z \in \mathbb{U}_n} z = \sum_{k=0}^{n-1} \omega^k = \frac{1 - \omega^n}{1 - \omega}$. 3. Conclure car $\omega^n = 1$.
Exemple : Pour $n=3$, $1 + j + j^2 = 0$ avec $j = \mathrm{e}^{i\frac{2\pi}{3}}$ car $j \neq 1$ et $j^3 = 1$.
Racines $n$-ièmes d'un nombre complexe
Formule : $z_k = \sqrt[n]{r}\, \mathrm{e}^{i\frac{\theta + 2k\pi}{n}}, \quad k \in \{0, 1, \dots, n-1\}$
Méthode : Pour résoudre $z^n = Z = r\mathrm{e}^{i\theta}$ ($r > 0$) : 1. Écrire $z = \rho\mathrm{e}^{i\phi}$. 2. Déterminer le module $\rho = \sqrt[n]{r}$. 3. Déterminer les arguments $\phi = \frac{\theta + 2k\pi}{n}$ pour $k \in \{0, \dots, n-1\}$.
Exemple : Pour $z^3 = 8i = 8\mathrm{e}^{i\frac{\pi}{2}}$, les solutions sont $z_k = 2\mathrm{e}^{i(\frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3})}$ pour $k \in \{0, 1, 2\}$.
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O; \vec{u}, \vec{v})$, on considère l'ensemble $\mathbb{U}_n$ des racines $n$-ièmes de l'unité ($n \ge 3$), représentées par les sommets $A_k$ d'un polygone régulier d'affixes respectives $z_k = e^{i \frac{2k\pi}{n}}$ pour $k \in \{0, 1, \dots, n-1\}$.
La distance entre les deux sommets consécutifs $A_0$ et $A_1$ est égale à $\sqrt{2}$.
- Exprimer la distance $A_0 A_1 = |z_1 - z_0|$ en fonction de $\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$ en factorisant $z_1 - z_0$ par $e^{i \frac{\pi}{n}}$.
- En déduire la valeur du nombre entier $n$.
Saisir la valeur de $n$.
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct, on considère un hexagone régulier dont les sommets $A_0, A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ ont pour affixes respectives :
$$z_k = R e^{i \frac{k\pi}{3}} \quad \text{pour } k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$$où $R$ est un nombre réel strictement positif désignant le rayon du cercle circonscrit à cet hexagone.
Soit $M$ le point d'affixe $z_M = 3$. On suppose que le point $M$ est situé à l'extérieur du cercle circonscrit à l'hexagone.
On sait que le produit des distances du point $M$ à chacun des six sommets de l'hexagone est égal à $665$ :
$$MA_0 \times MA_1 \times MA_2 \times MA_3 \times MA_4 \times MA_5 = 665$$Déterminer la valeur du carré du rayon $R^2$.
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct, on considère un entier $n \ge 3$ et les points $A_0, A_1, \dots, A_{n-1}$ d'affixes respectives $z_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}}$ pour $k \in \{0, 1, \dots, n-1\}$, formant un polygone régulier inscrit dans le cercle unité.
Soit $P$ le point d'affixe $w = 2 e^{i\frac{\pi}{n}}$.
On sait que le produit des distances du point $P$ aux sommets du polygone est égal à $1025$ :
$$\prod_{k=0}^{n-1} P A_k = 1025$$Déterminer la valeur de la somme des carrés des distances du point $P$ à l'ensemble des sommets du polygone :
$$S = \sum_{k=0}^{n-1} P A_k^2$$Saisir la valeur numérique de la somme $S$.
On considère la matrice de Fourier $F_4$ définie par :
$$F_4 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -i & -1 & i \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & i & -1 & -i \end{pmatrix}$$Pour un vecteur signal $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$, sa transformation de Fourier discrète est le vecteur $\mathbf{X} = \begin{pmatrix} X_0 \\ X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{pmatrix}$ déterminé par le produit matriciel $\mathbf{X} = F_4 \mathbf{x}$.
On choisit le vecteur signal $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} k \\ 3 \\ 1 \\ k \end{pmatrix}$, où $k$ est un nombre réel strictement positif.
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, on note $A$ et $B$ les points d'affixes respectives $X_0$ et $X_1$. Sachant que la distance $AB$ est égale à $8$, déterminer la valeur du réel $k$.
Saisir la valeur de $k$.
Soit $\omega = e^{i\frac{2\pi}{5}}$. On considère la somme définie pour tout nombre réel $a$ par :
$$S(a) = \sum_{k=0}^{4} \left| 1 + a \omega^k \right|^4$$Par une démonstration théorique complète, déterminer la valeur exacte du nombre réel $S(2)$.
Saisir la valeur de $S(2)$.
On considère la matrice carrée $M$ définie par :
$$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -i & -1 & i \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & i & -1 & -i \end{pmatrix}$$Pour tout réel $k > 3$, on définit le vecteur colonne $X_{\text{in}} = \begin{pmatrix} k \\ k-2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ et le vecteur transformé $X_{\text{out}} = \begin{pmatrix} X_0 \\ X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{pmatrix}$ par la relation $X_{\text{out}} = M X_{\text{in}}$.
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct, on note $A_0, A_1, A_2, A_3$ les points d'affixes respectives $X_0, X_1, X_2, X_3$.
L'aire du quadrilatère $A_0 A_1 A_2 A_3$ est égale à $96$.
Saisir la valeur du réel $k$.