Exercice : Racines n-ièmes de l'unité et applications

Étape 1

Les nombres $z_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}}$ sont les $n$ racines $n$-ièmes de l'unité. La factorisation du polynôme $z^n - 1$ dans $\mathbb{C}$ s'écrit : $$z^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1} (z - z_k)$$

Étape 2

Pour tout point $P$ d'affixe $w$, la distance $P A_k$ vaut $|w - z_k|$. On en déduit l'expression du produit des distances : $$\prod_{k=0}^{n-1} P A_k = \prod_{k=0}^{n-1} |w - z_k| = \left| \prod_{k=0}^{n-1} (w - z_k) \right| = |w^n - 1|$$

Étape 3

Calculons la puissance $w^n$ avec $w = 2 e^{i\frac{\pi}{n}}$ : $$w^n = \left(2 e^{i\frac{\pi}{n}}\right)^n = 2^n e^{i\pi} = -2^n$$ D'où : $$|w^n - 1| = |-2^n - 1| = 2^n + 1$$

Étape 4

L'énoncé indique que le produit des distances est égal à $1025$, ce qui donne l'équation : $$2^n + 1 = 1025 \quad \text{soit} \quad 2^n = 1024$$ Puisque $2^{10} = 1024$, on conclut que $n = 10$.

Étape 5

Exprimons désormais le carré de la distance $P A_k$ : $$P A_k^2 = |w - z_k|^2 = (w - z_k)(\overline{w} - \overline{z_k}) = |w|^2 + |z_k|^2 - (w \overline{z_k} + \overline{w} z_k)$$ Sachant que $|w| = 2$ et $|z_k| = 1$, il vient : $$P A_k^2 = 2^2 + 1^2 - 2 \text{Re}(\overline{w} z_k) = 5 - 2 \text{Re}(\overline{w} z_k)$$

Étape 6

En sommant pour $k$ allant de $0$ à $9$ : $$S = \sum_{k=0}^{9} P A_k^2 = \sum_{k=0}^{9} 5 - 2 \text{Re}\left( \overline{w} \sum_{k=0}^{9} z_k \right)$$ Or la somme des racines $10$-ièmes de l'unité est nulle : $$\sum_{k=0}^{9} z_k = 0$$ On en déduit finalement : $$S = 10 \times 5 - 0 = 50$$