Étape 1
Soit $\omega = e^{i\frac{2\pi}{5}}$. Remarquons que pour tout entier $p \in \{-2, -1, 1, 2\}$, $\omega^p \neq 1$. D'après la formule de la somme des termes d'une suite géométrique :$$\sum_{k=0}^{4} (\omega^p)^k = \frac{1 - (\omega^p)^5}{1 - \omega^p} = \frac{1 - (\omega^5)^p}{1 - \omega^p}$$Comme $\omega^5 = e^{2i\pi} = 1$, on en déduit que pour tout $p \in \{-2, -1, 1, 2\}$ :$$\sum_{k=0}^{4} \omega^{p k} = 0$$
Étape 2
Étudions le terme général de la somme $S(2) = \sum_{k=0}^{4} |1 + 2\omega^k|^4$. Pour tout entier $k$, le conjugué de $\omega^k$ est $\overline{\omega^k} = \omega^{-k}$. On exprime d'abord le module au carré :$$|1 + 2\omega^k|^2 = (1 + 2\omega^k)(1 + 2\omega^{-k}) = 1 + 2\omega^{-k} + 2\omega^k + 4 = 5 + 2(\omega^k + \omega^{-k})$$
Étape 3
En élevant cette expression au carré pour obtenir la puissance quatrième, on développe :$$|1 + 2\omega^k|^4 = \left(5 + 2(\omega^k + \omega^{-k})\right)^2 = 25 + 20(\omega^k + \omega^{-k}) + 4(\omega^k + \omega^{-k})^2$$Or $(\omega^k + \omega^{-k})^2 = \omega^{2k} + 2 + \omega^{-2k}$. D'où :$$|1 + 2\omega^k|^4 = 33 + 20\omega^k + 20\omega^{-k} + 4\omega^{2k} + 4\omega^{-2k}$$
Étape 4
En sommant cette égalité pour $k$ allant de $0$ à $4$, on obtient par linéarité de la somme :$$S(2) = \sum_{k=0}^{4} 33 + 20 \sum_{k=0}^{4} \omega^k + 20 \sum_{k=0}^{4} \omega^{-k} + 4 \sum_{k=0}^{4} \omega^{2k} + 4 \sum_{k=0}^{4} \omega^{-2k}$$
Étape 5
Comme $\sum_{k=0}^{4} 33 = 5 \times 33 = 165$ et que toutes les autres sommes sont nulles d'après la première étape, on conclut que $S(2) = 165$.
Méthode clé
Pour simplifier une somme de modules faisant intervenir $e^{i\frac{2\pi}{n}}$, écrire $|z|^2 = z \overline{z}$ et utiliser la propriété de somme nulle $\sum_{k=0}^{n-1} \omega^{p k} = 0$ pour $p$ non multiple de $n$.
Piège à éviter
Calculer explicitement $\cos\left(\frac{2k\pi}{5}\right)$ au lieu d'exploiter les propriétés algébriques des puissances de $\omega$.
