Exercice : Racines n-ièmes de l'unité et applications

Étape 1

Pour tout entier $k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$, l'affixe $z_k = R e^{i \frac{k\pi}{3}}$ vérifie : $$(z_k)^6 = \left(R e^{i \frac{k\pi}{3}}\right)^6 = R^6 e^{i 2k\pi} = R^6$$ Les nombres complexes $z_0, z_1, z_2, z_3, z_4, z_5$ sont donc les 6 solutions distinctes de l'équation $z^6 = R^6$.

Étape 2

On en déduit la factorisation de la fonction polynôme $P(z) = z^6 - R^6$ dans $\mathbb{C}$ : $$z^6 - R^6 = \prod_{k=0}^{5} (z - z_k)$$

Étape 3

La distance $MA_k$ entre le point $M$ d'affixe $z_M = 3$ et le sommet $A_k$ d'affixe $z_k$ est égale au module $|z_M - z_k| = |3 - z_k|$. Le produit des distances s'écrit donc : $$\prod_{k=0}^{5} MA_k = \prod_{k=0}^{5} |3 - z_k| = \left| \prod_{k=0}^{5} (3 - z_k) \right| = |3^6 - R^6|$$

Étape 4

On calcule $3^6 = 729$. Le produit des distances est donc égal à $|729 - R^6|$. D'après l'énoncé, ce produit vaut $665$, ce qui donne l'équation : $$|729 - R^6| = 665$$

Étape 5

Le point $M$ étant situé à l'extérieur du cercle circonscrit de rayon $R$, on a $3 > R$, d'où $3^6 > R^6$, soit $729 - R^6 > 0$. On peut ainsi supprimer la valeur absolue : $$729 - R^6 = 665$$

Étape 6

On isole $R^6$ : $$R^6 = 729 - 665 = 64$$

Étape 7

Puisque $R > 0$ et $64 = 2^6$, on en déduit que $R = 2$. Le carré du rayon est donc : $$R^2 = 2^2 = 4$$